Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai
n1·N1 = n2·N2
Sukimo momentas
T2 = T1·(N2/N1)·η
Galia
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara
bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis
τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas
J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas
φ = TL/(GJ)
Galia
P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

  1. Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
  2. Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
  3. Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
  4. Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras
C = (σx + σy)/2
Spindulys
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Pagrindiniai įtempiai
σ1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Pasvirasis pjūvis
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metodas

  1. Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
  2. Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
  4. Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis
σ = F/A
Deformacija
ε = ΔL/L
Huko dėsnis
σ = E·ε
Pailgėjimas
ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija
εT = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Iš statinio įlinkio
ωn = √(g/δst)
Kritinis slopinimas
cc = 2√(km) = 2mωn
Slopinimo koeficientas
ζ = c/cc
Slopinamųjų virpesių dažnis
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės
k = k1 + k2
Nuosekliai sujungtos spyruoklės
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis
d1​ = 150 mmd2​ = 400 mm2880 rpmn2​ = ?

150 mm skriemulys sukasi 2880 rpm ir diržu suka 400 mm skriemulį, slydimas 2,5 %. Raskite varomojo skriemulio sūkių dažnį n2.

n1 = 2880 rpmd1 = 150 mmd2 = 400 mms = 2,5 %
n2 = rpm
2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus
A = 12B = 60C = 25D = 72

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (12 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 1450 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (60 dantų). Krumpliaratis C (25 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (72 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį nout.

nin = 1450 rpmA = 12B = 60C = 25D = 72
nout = rpm
3.Velenų sukimasVidutinis
d = ?T = 1500 N·mL = 0,5 m

Pilnavidurį 0,5 m ilgio veleną (žalvaris) veikia 1500 N·m sukimo momentas. Sukimo kampas tarp jo galų negali viršyti 2°. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį šią sąlygą.

T = 1500 N·mL = 0,5 mG = 39 GPaφallow = 2°
d = mm
4.Velenų sukimasSunkus
d = 25 mmT0​ = 200 N·mACBa = 0,8 mb = 1 m

Pilnaviduris velenas (žalvaris), kurio skersmuo 25 mm, abiem galais A ir B įtvirtintas standžiose sienose. Taške C, 0,8 m atstumu nuo A ir 1 m atstumu nuo B, pridėtas 200 N·m sukimo momentas. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τmax velene.

d = 25 mmT0 = 200 N·ma = 0,8 mb = 1 m
τmax = MPa
5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis
σx​ = 40σy​ = −60τxy​ = 30MPa

Apkrautos detalės taške σₓ = 40 MPa, σᵧ = −60 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τmax.

σx = 40 MPaσy = −60 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus
σx​ = −40σy​ = 110τxy​ = 20MPa

Apkrautos detalės taške σₓ = −40 MPa, σᵧ = 110 MPa ir τₓᵧ = 20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σθ pjūvyje, kurio normalė pasukta 35° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σx = −40 MPaσy = 110 MPaτxy = 20 MPaθ = 35°
σθ = MPa
7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis
P = ?12300 mm200 mmØ20Ø40δ = 0,4 mm

Strypą sudaro plienas atkarpa (skersmuo 20 mm, ilgis 300 mm, E = 200 GPa), galais sujungta su atkarpa iš varis (skersmuo 40 mm, ilgis 200 mm, E = 120 GPa). Vienas galas įtvirtintas, kitas traukiamas. Raskite ašinę apkrovą P, kuri jį iš viso pailgina 0,4 mm.

1 atkarpa: plienas, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: varis, Ø40 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0,4 mm
P = kN
8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus
20 kN12500 mm400 mmØ40Ø60σ2​ = ?

plienas atkarpa (skersmuo 40 mm, ilgis 500 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš žalvaris (skersmuo 60 mm, ilgis 400 mm, E = 100 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 20 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ2.

1 atkarpa: plienas, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: žalvaris, Ø60 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 2 m30 × 80 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
PL = 3 md = 40 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σcr pagal Oilerio formulę.

L = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 40 mm
σcr = MPa
11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis
k = 15 kN/mζ = 0,7m = 15 kg

15 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 15 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,7. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį fd Hz.

m = 15 kgk = 15 kN/mζ = 0,7
fd = Hz
12.Mechaniniai virpesiaiSunkus
k1​ = 30k2​ = 60m = 100 kg

100 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 30 kN/m ir k₂ = 60 kN/m. Masė lieka horizontali. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį fn Hz.

m = 100 kgk1 = 30 kN/mk2 = 60 kN/m
fn = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n2 = 1053 rpm

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = eμθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Sūkių dažnis be slydimo

2880·150/400 = 1080 rpm

Su slydimu

n2 = 1080·0,975 = 1053 rpm

Atsakymas

n2 = 1053 rpm
2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: nout = 100,7 rpm

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Pirmoji pakopa

nB = 1450·12/60 = 290 rpm = nC

Antroji pakopa

nout = 290·25/72 = 100,7 rpm

Atsakymas

nout = 100,7 rpm

bendras perdavimo skaičius = 14,4 : 1

3.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 48,67 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Reikiamas polinis inercijos momentas

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm
L = 0,5 m = 500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 2·π/180 = 0,03491 rad
J = TL/(Gφ) = 1,5 × 10⁶·500/(39000·0,03491) = 550921 mm⁴

Skersmuo

d = (32J/π)1/4 = 48,67 mm

Atsakymas

d = 48,67 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τmax = 36,22 MPa

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω. Kai abu galai įtvirtinti, vien statika duoda tik TA + TB = T₀; antroji lygtis yra suderinamumas (abiejų dalių vienodas sukimo kampas apkrautame skerspjūvyje).

Pusiausvyra ir suderinamumas

TA + TB = 200
TA·a = TB·b
TA = 200·1/1,8 = 111,1 N·m
TB = 200·0,8/1,8 = 88,89 N·m

Didžiausias tangentinis įtempis

Lemia didesnysis iš dviejų sukimo momentų (skersmuo tas pats).

τmax = 16·111111/(π·25³) = 36,22 MPa

Atsakymas

τmax = 36,22 MPa
5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τmax = 58,31 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

στxyCτmax​

Moro apskritimo spindulys

τmax = R = √(((40 − −60)/2)² + 30²) = 58,31 MPa

Atsakymas

τmax = 58,31 MPa
6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σθ = 28,14 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Transformacijos lygtis

σθ = 35 + −75·0,342 + 20·0,9397 = 28,14 MPa

Atsakymas

σθ = 28,14 MPa
7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P = 65,56 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, Pi = P·EiAi/ΣEA, o σi = Ei·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

Lankstumai

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314,2) = 4,775 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·1257) = 1,326 × 10⁻⁶ mm/N

Apkrova

P = 0,4/6,101 × 10⁻⁶ = 65564 N = 65,56 kN

Atsakymas

P = 65,56 kN
8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ2 = 4,134 MPa

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, Pi = P·EiAi/ΣEA, o σi = Ei·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Standumai

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm
k₂ = 100000·2827/400 = 706858 N/mm

2 atkarpos dalis

F2 = 20000·706858/1,21 × 10⁶ = 11688 N

Įtempis

σ2 = 11688/2827 = 4,134 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ2 = 4,134 MPa
9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 22,21 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·2000 = 4000 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/4000² = 22207 N = 22,21 kN

Atsakymas

Pcr = 22,21 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σcr = 1,919 MPa

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 2·3000 = 6000 mm
KL/r = 6000/10 = 600

Kritinis įtempis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/600² = 1,919 MPa

Atsakymas

σcr = 1,919 MPa
11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: fd = 3,594 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ωn = √(15000/15) = 31,62 rad/s
fn = 31,62/(2π) = 5,033 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

fd = fn·√(1 − ζ²) = 5,033·√(1 − 0,7²) = 3,594 Hz

Atsakymas

fd = 3,594 Hz
12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: fn = 4,775 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k1 + k2.

keq = 30 + 60 = 90 kN/m

Savasis dažnis

ωn = √(90000/100) = 30 rad/s
fn = 30/(2π) = 4,775 Hz

Atsakymas

fn = 4,775 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design