Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

120 mm skriemulys sukasi 2880 rpm ir diržu suka 400 mm skriemulį, slydimas 1,5 %. Raskite varomojo skriemulio sūkių dažnį n₂.

n₁ = 2880 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 400 mms = 1,5 %

n₂ = rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 150 mm ir 450 mm skriemulius, kurių ašys nutolusios 800 mm. Raskite apkabos kampą θ ant mažesniojo skriemulio laipsniais.

d₁ = 150 mmd₂ = 450 mmC = 800 mm

θ = °

3.Velenų sukimasVidutinis

Sukimo bandyme pilnaviduris bandinys, kurio skersmuo 10 mm, sukamas 40 N·m sukimo momentu. Abu 200 mm matavimo bazės galai vienas kito atžvilgiu pasisuka 5,84° (medžiaga dar tampri). Raskite medžiagos šlyties modulį G.

T = 40 N·md = 10 mmL = 200 mmφ = 5,84°

G = GPa

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (plienas), kurio skersmuo 25 mm, abiem galais A ir B įtvirtintas standžiose sienose. Taške C, 3 m atstumu nuo A ir 0,8 m atstumu nuo B, pridėtas 500 N·m sukimo momentas. Raskite reakcijos sukimo momentą T_A sienoje A.

d = 25 mmT₀ = 500 N·ma = 3 mb = 0,8 m

T_A = N·m

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = −20 MPa ir σᵧ = −60 MPa. Kokio didumo gali būti tangentinis įtempis τ_xy, kol didžiausias pagrindinis įtempis pasieks −10 MPa?

σ_x = −20 MPaσ_y = −60 MPaσ₁ = −10 MPa

τ_xy = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 40 MPa, σᵧ = 30 MPa ir τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). Medžiagos takumo riba 355 MPa. Raskite atsargos koeficientą n takumo atžvilgiu pagal fon Mizeso (formos keitimo energijos) kriterijų.

σ_x = 40 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 10 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (varis) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 70 kNd = 16 mmL = 2,5 mE = 117 GPa

ε = µε

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 35 kN1 ruožas: Ø30 mm, 2 m, aliuminis (E = 70 GPa)2 ruožas: Ø12 mm, 2 m, plienas (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Ji turi atlaikyti 70 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 70 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 12 mm poslinkio amplitudės po 3 ciklų seka 6,8 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

x₀ = 12 mmx₃ = 6,8 mmn = 3

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

40 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 100 kN/m, apatinės k₂ = 5 kN/m. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 40 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n₂ = 851 rpm

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Sūkių dažnis be slydimo

2880·120/400 = 864 rpm

Su slydimu

n₂ = 864·0,985 = 851 rpm

Atsakymas

n₂ = 851 rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: θ = 158,4 °

Diržo kampas

asin(0,1875) = 10,81°

Apkabos kampas

θ = 180 − 2·10,81 = 158,4°

Atsakymas

θ = 158,4°

3.Velenų sukimas

Atsakymas: G = 79,95 GPa

Polinis inercijos momentas ir kampas

J = π·10⁴/32 = 981,7 mm⁴

φ = 5,84·π/180 = 0,1019 rad

Šlyties modulis

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·200/(981,7·0,1019) = 79947 MPa

G = 79,95 GPa

Atsakymas

G = 79,95 GPa

Palyginimui: plienas ≈ 80 GPa, žalvaris ≈ 39 GPa, aliuminis ≈ 26 GPa.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: T_A = 105,3 N·m

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω. Kai abu galai įtvirtinti, vien statika duoda tik T_A + T_B = T₀; antroji lygtis yra suderinamumas (abiejų dalių vienodas sukimo kampas apkrautame skerspjūvyje).

Pusiausvyra ir suderinamumas

T_A + T_B = 500

T_A·a = T_B·b

T_A = 500·0,8/3,8 = 105,3 N·m

T_B = 500·3/3,8 = 394,7 N·m

Atsakymas

T_A = 105,3 N·m

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_xy = 22,36 MPa

Reikiamas spindulys

C = (−20 + (−60))/2 = −40 MPa

R = σ₁ − C = −10 − (−40) = 30 MPa

Tangentinis įtempis

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(30² − 20²) = 22,36 MPa

Atsakymas

τ_xy = 22,36 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: n = 8,875

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Takumo kriterijai: pagal fon Mizesą takumas prasideda, kai σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) pasiekia σ_Y; pagal Treską – kai absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis pasiekia σ_Y/2.

Pagrindiniai įtempiai

C = 35 MPa, R = 11,18 MPa

σ₁ = 46,18 MPa, σ₂ = 23,82 MPa, σ₃ = 0

Fon Mizesas

σ_vM = √(46,18² − 46,18·23,82 + 23,82²) = 40 MPa

n = 355/40 = 8,875

Atsakymas

n = 8,875

n > 1 reiškia, kad taške takumas neprasideda; Treskos kriterijus kiek konservatyvesnis nei fon Mizeso.

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 2976 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 70·1000/201,1 = 348,2 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for varis = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 348,2/117000 = 0,002976 = 2976 µε

Atsakymas

ε = 2976 µε

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 4,509 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 49,51 MPa

σ₂ = 309,5 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 49,51·2000/70000 = 1,415 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 309,5·2000/200000 = 3,095 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,509 mm

Atsakymas

δ = 4,509 mm

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 77,11 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·2000 = 4000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·625000/4000² = 77106 N = 77,11 kN

Atsakymas

P_cr = 77,11 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 110,4 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2·70000 = 140000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·140000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 110,4 mm

Atsakymas

d = 110,4 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 217,4, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,03012

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritminis slopinimo dekrementas

δ = (1/3)·ln(12/6,8) = 0,1893

Slopinimo koeficientas

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1893/√(39,48 + 0,03585) = 0,03012

Atsakymas

ζ = 0,03012

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 1,737 Hz

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/100 + 1/5 → k_eq = 100·5/(100 + 5) = 4,762 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(4762/40) = 10,91 rad/s

f_n = 10,91/(2π) = 1,737 Hz

Atsakymas

f_n = 1,737 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design