Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

7,5 kW variklis, besisukantis 1450 rpm greičiu, suka krumpliaratuką su 24 dantų, kurio modulis 2 mm. Raskite tangentinę jėgą F_t, veikiančią krumpliaratuko dantis.

P = 7,5 kWn = 1450 rpmN₁ = 24m = 2 mm

F_t = N

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 100 mm varantįjį skriemulį, sukamą 720 rpm, su 400 mm skriemuliu; ašys nutolusios 1200 mm. Trinties koeficientas yra 0,3, o įtemptosios šakos įtempimas neturi viršyti 600 N. Raskite didžiausią galią P, kurią diržas gali perduoti neslysdamas, kW (išcentrinių jėgų neįskaitykite).

d₁ = 100 mmn₁ = 720 rpmd₂ = 400 mmC = 1200 mmμ = 0,3T₁ = 600 N

P = kW

3.Velenų sukimasVidutinis

Pakopinis pilnaviduris velenas (žalvaris) įtvirtintas taške A. Ruožo AB skersmuo 60 mm, ilgis 0,5 m; ruožo BC skersmuo 30 mm, ilgis 0,5 m. Laisvajame gale C veikia 1500 N·m sukimo momentas. Raskite galo C sukimo kampą φ_C laipsniais.

T = 1500 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 30 mm, L₂ = 0,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (aliuminis) perduoda 5 kW esant 300 rpm. Tangentinis įtempis negali viršyti 75 MPa, o santykinis sukimo kampas – 1°/m. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį abi sąlygas.

P = 5 kWN = 300 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 1°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 120 MPa, σᵧ = 120 MPa ir τₓᵧ = 10 MPa, σ_z = 0. Raskite absoliutųjį didžiausią tangentinį įtempį τ_abs taške (atsižvelgiant į visas plokštumas trijuose matmenyse).

σ_x = 120 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 70 MPa, σᵧ = 120 MPa ir τₓᵧ = 20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 45° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 70 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

plienas strypas (skersmuo 30 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš varis (išorinis skersmuo 80 mm, vidinis skersmuo 60 mm, E = 120 GPa). Abu 600 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 300 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 300 kNstrypas: Ø30 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø80/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 600 mm

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite didžiausią normalinį įtempį σ_max strype.

P = 110 kN1 ruožas: Ø30 mm, 0,5 m, varis (E = 117 GPa)2 ruožas: Ø20 mm, 1,5 m, aliuminis (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 5 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 25 mm poslinkio amplitudės po vieno ciklo seka 19,4 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

x₀ = 25 mmx₁ = 19,4 mmn = 1

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

10 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 40 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 80 kN/m ir k₂ = 40 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 10 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: F_t = 2058 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Krumpliaratuko sukimo momentas

ω = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 7500/151,8 = 49,39 N·m

Dalijamasis skersmuo

d = m·N = 2·24 = 48 mm

Tangentinė jėga

F_t = 2T/d = 2·49,39/0,048 = 2058 N

Atsakymas

F_t = 2058 N

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 1,312 kW

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Apkabos kampas

θ = 2,891 rad

Laisvosios šakos įtempimas

e^μθ = e^0,8673 = 2,38, T₂ = 600/2,38 = 252,1 N

Galia

P = (600 − 252,1)·3,77 = 1,312 kW

Atsakymas

P = 1,312 kW

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ_C = 14,72 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Poliniai inercijos momentai

J₁ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Kiekvieno ruožo sukimo kampas

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 1,5 × 10⁶·500/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,01511 rad

φ_BC = 1,5 × 10⁶·500/(39000·79522) = 0,2418 rad

Bendras sukimo kampas

φ_C = 0,01511 + 0,2418 = 0,2569 rad = 14,72°

Atsakymas

φ_C = 14,72°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 43,48 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 5000/31,42 = 159,2 N·m

Skersmuo pagal stiprumą

T = 159,2 N·m = 159155 N·mm

d_τ = ∛(16·159155/(π·75)) = 22,11 mm

Skersmuo pagal standumą

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·159155/(π·26000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 43,48 mm

Lemiamasis skersmuo

Turi būti tenkinamos abi sąlygos, todėl lemia didesnis skersmuo.

d = max(22,11, 43,48) = 43,48 mm

Atsakymas

d = 43,48 mm

Čia lemia standumas.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_abs = 65 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Trijuose matmenyse absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis yra (σ_max − σ_min)/2 tarp visų trijų pagrindinių įtempių; plokščiajame įtempių būvyje trečiasis lygus nuliui.

Pagrindiniai įtempiai plokštumoje

C = 120 MPa, R = √(0² + 10²) = 10 MPa

σ₁ = 130 MPa, σ₂ = 110 MPa, σ_z = 0

Didžiausias iš trijų apskritimų

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(20, 130, 110)/2 = 65 MPa

Atsakymas

τ_abs = 65 MPa

Čia lemia apskritimas už plokštumos ribų: absoliutusis maksimumas didesnis už maksimumą plokštumoje R.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 115 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 95 + −25·0 + 20·1 = 115 MPa

Atsakymas

σ_θ = 115 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,4442 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·2199 = 4,053 × 10⁸ N

Sutrumpėjimas

δ = 300000·600/4,053 × 10⁸ = 0,4442 mm

Atsakymas

δ = 0,4442 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ_max = 350,1 MPa

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 155,6 MPa

σ₂ = 350,1 MPa

Didžiausias įtempis

Plonesnio ruožo plotas mažesnis, todėl jame įtempis didesnis.

σ_max = 350,1 MPa

Atsakymas

σ_max = 350,1 MPa

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 200,5 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/1050² = 200525 N = 200,5 kN

Atsakymas

P_cr = 200,5 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 24,87 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/15 = 166,7

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/166,7² = 24,87 MPa

Atsakymas

σ_cr = 24,87 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,04033

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritminis slopinimo dekrementas

δ = (1/1)·ln(25/19,4) = 0,2536

Slopinimo koeficientas

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,2536/√(39,48 + 0,06431) = 0,04033

Atsakymas

ζ = 0,04033

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 8,717 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 80 + 40 = 120 kN/m

k_eq = 120·40/(120 + 40) = 30 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(30000/10) = 54,77 rad/s

f_n = 54,77/(2π) = 8,717 Hz

Atsakymas

f_n = 8,717 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design