Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

1,1 kW variklis, besisukantis 1500 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 20; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 30. Krumpliaračių poros naudingumo koeficientas – 95 %. Raskite sukimo momentą T₁ variklio velene.

P = 1,1 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 20N₂ = 30η = 95%

T₁ = N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (40 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 1500 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (45 dantų). Krumpliaratis C (20 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (25 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį n_out.

n_in = 1500 rpmA = 40B = 45C = 20D = 25

n_out = rpm

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 750 N·md = 30 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 75 kW esant 750 rpm. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,7, o tangentinis įtempis negali viršyti 80 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį d_o.

P = 75 kWN = 750 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = −50 MPa, σᵧ = −80 MPa ir τₓᵧ = 50 MPa, σ_z = 0. Raskite absoliutųjį didžiausią tangentinį įtempį τ_abs taške (atsižvelgiant į visas plokštumas trijuose matmenyse).

σ_x = −50 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 50 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 80 MPa, σᵧ = −80 MPa ir τₓᵧ = −10 MPa (tempimas teigiamas). Raskite tangentinį įtempį τ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 45° pagal laikrodžio rodyklę nuo x ašies (teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σ_x = 80 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −10 MPaθ = -45°

τ_θ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (žalvaris) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 70 kNd = 12 mmL = 1 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas strypas (skersmuo 30 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 150 MPa) yra viduje vamzdžio iš varis (išorinis skersmuo 80 mm, vidinis skersmuo 60 mm, E = 120 GPa, leistinasis įtempis 50 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą P_max.

strypas: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPavamzdis: Ø80/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Ji turi atlaikyti 80 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 80 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

5 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 8 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 30 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 5 kgk = 8 kN/mc = 30 N·s/m

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

40 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 20 kN/m, apatinės k₂ = 40 kN/m. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 40 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 40 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T₁ = 7,003 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1100/157,1 = 7,003 N·m

Atsakymas

T₁ = 7,003 N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_out = 1067 rpm

Pirmoji pakopa

n_B = 1500·40/45 = 1333 rpm = n_C

Antroji pakopa

n_out = 1333·20/25 = 1067 rpm

Atsakymas

n_out = 1067 rpm

bendras perdavimo skaičius = 1,406 : 1

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 10,39 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 750·1000·500/(26000·79522) = 0,1814 rad

φ = 0,1814·180/π = 10,39°

Atsakymas

φ = 10,39°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d_o = 43,09 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 75000/78,54 = 954,9 N·m

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·954930/(π·80·0,7599)) = 43,09 mm

d_i = 0,7·43,09 = 30,16 mm

Atsakymas

d_o = 43,09 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 39,32 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_abs = 58,6 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Trijuose matmenyse absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis yra (σ_max − σ_min)/2 tarp visų trijų pagrindinių įtempių; plokščiajame įtempių būvyje trečiasis lygus nuliui.

Pagrindiniai įtempiai plokštumoje

C = −65 MPa, R = √(15² + 50²) = 52,2 MPa

σ₁ = −12,8 MPa, σ₂ = −117,2 MPa, σ_z = 0

Didžiausias iš trijų apskritimų

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(104,4, 12,8, 117,2)/2 = 58,6 MPa

Atsakymas

τ_abs = 58,6 MPa

Čia lemia apskritimas už plokštumos ribų: absoliutusis maksimumas didesnis už maksimumą plokštumoje R.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_θ = 80 MPa

Transformacijos lygtis

τ_θ = −80·−1 + −10·0 = 80 MPa

Atsakymas

τ_θ = 80 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 6,189 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 70·1000/113,1 = 618,9 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for žalvaris = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 618,9/100000 = 0,006189 = 6189 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,006189·1000 mm = 6,189 mm

Atsakymas

δ = 6,189 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P_max = 168,9 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·2199 = 4,053 × 10⁸ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,00075, 0,0004167) = 0,0004167 (varis)

Didžiausia apkrova

P_max = 0,0004167·4,053 × 10⁸ = 168861 N = 168,9 kN

Atsakymas

P_max = 168,9 kN

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 143,5 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/1750² = 143515 N = 143,5 kN

Atsakymas

P_cr = 143,5 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 67,54 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2·80000 = 160000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·160000·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 67,54 mm

Atsakymas

d = 67,54 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 124,4, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,075

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(8000·5) = 400 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 30/400 = 0,075

Atsakymas

ζ = 0,075

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 13,33 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/20 + 1/40 → k_eq = 20·40/(20 + 40) = 13,33 kN/m

Atsakymas

k_eq = 13,33 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design