Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Du lygiagretūs velenai yra 90 mm atstumu vienas nuo kito. Juos reikia sujungti cilindrinių tiesiadančių krumpliaračių pora, kurios modulis 2,5 mm, o greičio sumažinimas 3 : 1. Kiek dantų N₁ turi turėti krumpliaratukas?

a = 90 mmm = 2,5 mmi = 3

N₁ =

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 160 mm varantįjį skriemulį, sukamą 2880 rpm, su 450 mm skriemuliu; ašys nutolusios 1200 mm. Trinties koeficientas yra 0,3, o įtemptosios šakos įtempimas neturi viršyti 1200 N. Raskite didžiausią galią P, kurią diržas gali perduoti neslysdamas, kW (išcentrinių jėgų neįskaitykite).

d₁ = 160 mmn₁ = 2880 rpmd₂ = 450 mmC = 1200 mmμ = 0,3T₁ = 1200 N

P = kW

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnavidurį 0,5 m ilgio veleną (plienas) veikia 250 N·m sukimo momentas. Sukimo kampas tarp jo galų negali viršyti 1°. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį šią sąlygą.

T = 250 N·mL = 0,5 mG = 80 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas turi perduoti 75 kW esant 3000 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 60 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 75 kWN = 3000 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 90 MPa, σᵧ = 90 MPa ir τₓᵧ = −50 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = 90 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Pilnaviduris 30 mm skersmens velenas perduoda 20 kN ašinę tempimo jėgą kartu su 100 N·m sukimo momentu. Veleno paviršiuje raskite didžiausią pagrindinį įtempį σ₁.

d = 30 mmF = 20 kNT = 100 N·m

σ₁ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Strypą sudaro plienas atkarpa (skersmuo 40 mm, ilgis 500 mm, E = 200 GPa), galais sujungta su atkarpa iš varis (skersmuo 50 mm, ilgis 400 mm, E = 120 GPa). Vienas galas įtvirtintas, kitas traukiamas. Raskite ašinę apkrovą P, kuri jį iš viso pailgina 0,3 mm.

1 atkarpa: plienas, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: varis, Ø50 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas strypas (skersmuo 20 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 150 MPa) yra viduje vamzdžio iš aliuminis (išorinis skersmuo 100 mm, vidinis skersmuo 50 mm, E = 70 GPa, leistinasis įtempis 60 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą P_max.

strypas: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPavamzdis: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (plienas)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 60 kN su 3 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 60 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 50 mm poslinkio amplitudės po 4 ciklų seka 11 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

x₀ = 50 mmx₄ = 11 mmn = 4

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

100 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 50 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 50 kN/m ir k₂ = 100 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 100 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: N₁ = 18

Krumpliaračių geometrija: modulis m nustato danties dydį. Krumpliaračio su N dantų dalijamasis skersmuo d = m·N, dviejų sukibusių krumpliaračių moduliai vienodi, o jų tarpašinis atstumas a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Greitis dalijamajame apskritime v = π·d·n/60, o tangentinė danties jėga gaunama iš sukimo momento: F_t = 2T/d.

Bendras dantų skaičius

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·90/2,5 = 72

Padalykite pagal perdavimo skaičių

N₁ = 72/(1 + 3) = 18

Atsakymas

N₁ = 18

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 16,82 kW

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Apkabos kampas

θ = 2,899 rad

Laisvosios šakos įtempimas

e^μθ = e^0,8698 = 2,386, T₂ = 1200/2,386 = 502,8 N

Galia

P = (1200 − 502,8)·24,13 = 16,82 kW

Atsakymas

P = 16,82 kW

3.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 30,9 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Reikiamas polinis inercijos momentas

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 250000·500/(80000·0,01745) = 89525 mm⁴

Skersmuo

d = (32J/π)^1/4 = 30,9 mm

Atsakymas

d = 30,9 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 27,26 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 75000/314,2 = 238,7 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·238732/(π·60)) = 27,26 mm

Atsakymas

d = 27,26 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 50 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((90 − 90)/2)² + −50²) = 50 MPa

Atsakymas

τ_max = 50 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ₁ = 37,73 MPa

Įtempiai paviršiuje

σ = F/A = 20000/(π·30²/4) = 20000/706,9 = 28,29 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·100000/(π·30³) = 18,86 MPa

Moro apskritimas

C = σ/2 = 14,15 MPa

R = √(14,15² + 18,86²) = 23,58 MPa

σ₁ = C + R = 37,73 MPa

σ₂ = C − R = −9,431 MPa

Atsakymas

σ₁ = 37,73 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P = 81,36 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²

Lankstumai

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·1963) = 1,698 × 10⁻⁶ mm/N

Apkrova

P = 0,3/3,687 × 10⁻⁶ = 81365 N = 81,36 kN

Atsakymas

P = 81,36 kN

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P_max = 356,4 kN

Plotai

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·5890 = 4,752 × 10⁸ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,00075, 0,0008571) = 0,00075 (plienas)

Didžiausia apkrova

P_max = 0,00075·4,752 × 10⁸ = 356374 N = 356,4 kN

Atsakymas

P_max = 356,4 kN

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 34,88 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·1500 = 1500 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1500² = 34882 N = 34,88 kN

Atsakymas

P_cr = 34,88 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 58,37 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 3·60000 = 180000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 58,37 mm

Atsakymas

d = 58,37 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 171,3, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,06014

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritminis slopinimo dekrementas

δ = (1/4)·ln(50/11) = 0,3785

Slopinimo koeficientas

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3785/√(39,48 + 0,1433) = 0,06014

Atsakymas

ζ = 0,06014

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 3,082 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 50 + 100 = 150 kN/m

k_eq = 150·50/(150 + 50) = 37,5 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(37500/100) = 19,36 rad/s

f_n = 19,36/(2π) = 3,082 Hz

Atsakymas

f_n = 3,082 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design