Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Diržas juda ant 200 mm varančiojo skriemulio, kuris sukasi 1500 rpm. Įtemptosios šakos įtempimas yra 600 N, laisvosios – 300 N. Raskite perduodamą galią P kW.

d₁ = 200 mmn₁ = 1500 rpmT₁ = 600 NT₂ = 300 N

P = kW

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (25 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 1440 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (45 dantų). Krumpliaratis C (50 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (60 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį n_out.

n_in = 1440 rpmA = 25B = 45C = 50D = 60

n_out = rpm

3.Velenų sukimasVidutinis

Sukimo bandyme pilnaviduris bandinys, kurio skersmuo 12 mm, sukamas 40 N·m sukimo momentu. Abu 250 mm matavimo bazės galai vienas kito atžvilgiu pasisuka 7,22° (medžiaga dar tampri). Raskite medžiagos šlyties modulį G.

T = 40 N·md = 12 mmL = 250 mmφ = 7,22°

G = GPa

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (aliuminis) perduoda 30 kW esant 500 rpm. Tangentinis įtempis negali viršyti 40 MPa, o santykinis sukimo kampas – 0,25°/m. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį abi sąlygas.

P = 30 kWN = 500 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 40 MPa, σᵧ = 100 MPa ir τₓᵧ = 10 MPa (tempimas teigiamas). Elementas pasukamas 30° prieš laikrodžio rodyklę. Raskite normalinį įtempį σ_y′ pasukto elemento sienelėse, statmenose pasuktajai y′ ašiai.

σ_x = 40 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 30°

σ_y′ = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonasienis cilindrinis rezervuaras, kurio vidinis skersmuo 1200 mm, o sienelės storis 8 mm, laiko dujas, kurių manometrinis slėgis 2,5 MPa. Jis pagamintas iš lakšto, suvirinto sraigine siūle, sudarančia 40° kampą su cilindro ašimi. Raskite tangentinio įtempio didumą |τ_n|, veikiančio išilgai suvirinimo siūlės.

D = 1200 mmt = 8 mmp = 2,5 MPaα = 40°

|τ_n| = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (žalvaris) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 55 kNd = 10 mmL = 1 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas strypas (skersmuo 40 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 120 MPa) yra viduje vamzdžio iš žalvaris (išorinis skersmuo 120 mm, vidinis skersmuo 50 mm, E = 100 GPa, leistinasis įtempis 60 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą P_max.

strypas: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPavamzdis: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 130 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 130 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

25 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 5 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,4. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 25 kgk = 5 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

50 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 80 kN/m, apatinės k₂ = 100 kN/m. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 50 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 4,712 kW

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo greitis

v = 15,71 m/s

Galia

P = (600 − 300)·15,71 = 4712 W = 4,712 kW

Atsakymas

P = 4,712 kW

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_out = 666,7 rpm

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Pirmoji pakopa

n_B = 1440·25/45 = 800 rpm = n_C

Antroji pakopa

n_out = 800·50/60 = 666,7 rpm

Atsakymas

n_out = 666,7 rpm

bendras perdavimo skaičius = 2,16 : 1

3.Velenų sukimas

Atsakymas: G = 38,98 GPa

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas ir kampas

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 7,22·π/180 = 0,126 rad

Šlyties modulis

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·250/(2036·0,126) = 38982 MPa

G = 38,98 GPa

Atsakymas

G = 38,98 GPa

Palyginimui: plienas ≈ 80 GPa, žalvaris ≈ 39 GPa, aliuminis ≈ 26 GPa.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 84,69 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 30000/52,36 = 573 N·m

Skersmuo pagal stiprumą

T = 573 N·m = 572958 N·mm

d_τ = ∛(16·572958/(π·40)) = 41,78 mm

Skersmuo pagal standumą

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·572958/(π·26000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 84,69 mm

Lemiamasis skersmuo

Turi būti tenkinamos abi sąlygos, todėl lemia didesnis skersmuo.

d = max(41,78, 84,69) = 84,69 mm

Atsakymas

d = 84,69 mm

Čia lemia standumas.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_y′ = 76,34 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Transformacijos lygtis y′ sienelei

σ_y′ = 70 − (−30)·0,5 − 10·0,866 = 76,34 MPa

Patikra

Normalinių įtempių suma sukant elementą nekinta.

σ_x′ = 63,66 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 140 = σ_x + σ_y

Atsakymas

σ_y′ = 76,34 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: |τ_n| = 46,16 MPa

Sienelės įtempiai

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 2,5·600/8 = 187,5 MPa

σ_a = pr/(2t) = 93,75 MPa

Transformuokite į siūlę

Ašį x imkite išilgai cilindro ašies (σ_a), o y – žiedo kryptimi (σ_h). Siūlės normalė su ašimi sudaro 90° − α kampą.

|τ_n| = (187,5 − 93,75)·sin 40°·cos 40° = 46,16 MPa

Atsakymas

|τ_n| = 46,16 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 7003 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 55·1000/78,54 = 700,3 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for žalvaris = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 700,3/100000 = 0,007003 = 7003 µε

Atsakymas

ε = 7003 µε

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P_max = 711,6 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·9346 = 1,186 × 10⁹ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,0006, 0,0006) = 0,0006 (žalvaris)

Didžiausia apkrova

P_max = 0,0006·1,186 × 10⁹ = 711571 N = 711,6 kN

Atsakymas

P_max = 711,6 kN

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 3,454 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·4000 = 8000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/8000² = 3454 N = 3,454 kN

Atsakymas

P_cr = 3,454 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 85,59 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2,5·130000 = 325000 N

KL = 1·4000 = 4000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·325000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 85,59 mm

Atsakymas

d = 85,59 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 186,9, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 2,063 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(5000/25) = 14,14 rad/s

f_n = 14,14/(2π) = 2,251 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,251·√(1 − 0,4²) = 2,063 Hz

Atsakymas

f_d = 2,063 Hz

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 4,745 Hz

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/80 + 1/100 → k_eq = 80·100/(80 + 100) = 44,44 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(44444/50) = 29,81 rad/s

f_n = 29,81/(2π) = 4,745 Hz

Atsakymas

f_n = 4,745 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design