Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

2,2 kW variklis, besisukantis 2900 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 32; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 40. Krumpliaračių poros naudingumo koeficientas – 97 %. Raskite išėjimo sukimo momentą T₂ varomojo krumpliaračio velene.

P = 2,2 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 32N₂ = 40η = 97%

T₂ = N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 80 mm ir 500 mm skriemulius, kurių ašys nutolusios 800 mm. Raskite apkabos kampą θ ant mažesniojo skriemulio laipsniais.

d₁ = 80 mmd₂ = 500 mmC = 800 mm

θ = °

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 100 N·md = 30 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (žalvaris) perduoda 10 kW esant 1450 rpm. Tangentinis įtempis negali viršyti 80 MPa, o santykinis sukimo kampas – 1°/m. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį abi sąlygas.

P = 10 kWN = 1450 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 1°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 160 MPa, σᵧ = −80 MPa ir τₓᵧ = −50 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_p nuo x ašies iki didžiausio pagrindinio įtempio krypties, intervale nuo −90° iki 90°.

σ_x = 160 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_p = °

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Pilnaviduris 25 mm skersmens velenas perduoda 190 kN ašinę gniuždymo jėgą kartu su 250 N·m sukimo momentu. Veleno paviršiuje raskite didžiausią pagrindinį įtempį σ₁.

d = 25 mmF = −190 kNT = 250 N·m

σ₁ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (varis) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 35 kNd = 12 mmL = 2,5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas strypas (skersmuo 30 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 160 MPa) yra viduje vamzdžio iš aliuminis (išorinis skersmuo 80 mm, vidinis skersmuo 60 mm, E = 70 GPa, leistinasis įtempis 100 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą P_max.

strypas: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPavamzdis: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 20 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 20 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

20 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 200 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 1600 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 20 kgk = 200 kN/mc = 1600 N·s/m

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

50 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 20 kN/m, apatinės k₂ = 80 kN/m. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 50 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T₂ = 8,784 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/303,7 = 7,244 N·m

Išėjimo sukimo momentas

T₂ = 7,244·40/32·0,97 = 8,784 N·m

Atsakymas

T₂ = 8,784 N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: θ = 149,6 °

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo kampas

asin(0,2625) = 15,22°

Apkabos kampas

θ = 180 − 2·15,22 = 149,6°

Atsakymas

θ = 149,6°

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 8,314 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 100·1000·3000/(26000·79522) = 0,1451 rad

φ = 0,1451·180/π = 8,314°

Atsakymas

φ = 8,314°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 31,51 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 10000/151,8 = 65,86 N·m

Skersmuo pagal stiprumą

T = 65,86 N·m = 65857 N·mm

d_τ = ∛(16·65857/(π·80)) = 16,12 mm

Skersmuo pagal standumą

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·65857/(π·39000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 31,51 mm

Lemiamasis skersmuo

Turi būti tenkinamos abi sąlygos, todėl lemia didesnis skersmuo.

d = max(16,12, 31,51) = 31,51 mm

Atsakymas

d = 31,51 mm

Čia lemia standumas.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_p = −11,31 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Kampas apskritime

Moro apskritime taškas x yra kampu 2θp nuo σ ašies; ketvirtis priklauso nuo σₓ − σᵧ ir τₓᵧ ženklų.

2θ_p = atan2(2·−50, 160 − −80) = −22,62°

Kampas elemente

θ_p = −11,31°

Atsakymas

θ_p = −11,31°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ₁ = 16,46 MPa

Įtempiai paviršiuje

σ = F/A = −190000/(π·25²/4) = −190000/490,9 = −387,1 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·25³) = 81,49 MPa

Moro apskritimas

C = σ/2 = −193,5 MPa

R = √((−193,5)² + 81,49²) = 210 MPa

σ₁ = C + R = 16,46 MPa

σ₂ = C − R = −403,5 MPa

Atsakymas

σ₁ = 16,46 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 6,613 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 35·1000/113,1 = 309,5 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for varis = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 309,5/117000 = 0,002645 = 2645 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,002645·2500 mm = 6,613 mm

Atsakymas

δ = 6,613 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P_max = 236,2 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·2199 = 2,953 × 10⁸ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,0008, 0,001429) = 0,0008 (plienas)

Didžiausia apkrova

P_max = 0,0008·2,953 × 10⁸ = 236248 N = 236,2 kN

Atsakymas

P_max = 236,2 kN

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 3,998 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·1500 = 3000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/3000² = 3998 N = 3,998 kN

Atsakymas

P_cr = 3,998 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 31,04 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2·20000 = 40000 N

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·40000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 31,04 mm

Atsakymas

d = 31,04 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 193,3, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,4

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(200000·20) = 4000 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 1600/4000 = 0,4

Atsakymas

ζ = 0,4

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 2,847 Hz

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/20 + 1/80 → k_eq = 20·80/(20 + 80) = 16 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(16000/50) = 17,89 rad/s

f_n = 17,89/(2π) = 2,847 Hz

Atsakymas

f_n = 2,847 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design