Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai
n1·N1 = n2·N2
Sukimo momentas
T2 = T1·(N2/N1)·η
Galia
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara
bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis
τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas
J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas
φ = TL/(GJ)
Galia
P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

  1. Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
  2. Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
  3. Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
  4. Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras
C = (σx + σy)/2
Spindulys
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Pagrindiniai įtempiai
σ1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Pasvirasis pjūvis
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metodas

  1. Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
  2. Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
  4. Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis
σ = F/A
Deformacija
ε = ΔL/L
Huko dėsnis
σ = E·ε
Pailgėjimas
ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija
εT = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Iš statinio įlinkio
ωn = √(g/δst)
Kritinis slopinimas
cc = 2√(km) = 2mωn
Slopinimo koeficientas
ζ = c/cc
Slopinamųjų virpesių dažnis
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės
k = k1 + k2
Nuosekliai sujungtos spyruoklės
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis
N1​ = 40N2​ = 45

0,75 kW variklis, besisukantis 2900 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 40; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 45. Krumpliaračių poros naudingumo koeficientas – 95 %. Raskite išėjimo sukimo momentą T2 varomojo krumpliaračio velene.

P = 0,75 kWn1 = 2900 rpmN1 = 40N2 = 45η = 95%
T2 = N·m
2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus
d1​ = 160 mmd2​ = 400 mm1500 rpmC = 500 mmθ = ?

Atviras diržas jungia 160 mm ir 400 mm skriemulius, kurių ašys nutolusios 500 mm. Raskite apkabos kampą θ ant mažesniojo skriemulio laipsniais.

d1 = 160 mmd2 = 400 mmC = 500 mm
θ = °
3.Velenų sukimasVidutinis
d = 20 mmT = 50 N·m200 mmφ = 1,4°

Sukimo bandyme pilnaviduris bandinys, kurio skersmuo 20 mm, sukamas 50 N·m sukimo momentu. Abu 200 mm matavimo bazės galai vienas kito atžvilgiu pasisuka 1,4° (medžiaga dar tampri). Raskite medžiagos šlyties modulį G.

T = 50 N·md = 20 mmL = 200 mmφ = 1,4°
G = GPa
4.Velenų sukimasSunkus
d = 50 mmTB​ = 750 N·mTC​ = 200 N·mABC1 m2,5 m

Pilnaviduris velenas (aliuminis), kurio skersmuo 50 mm, įtvirtintas taške A. Taške B, 1 m atstumu nuo A, veikia 750 N·m sukimo momentas, o laisvajame gale C, dar 2,5 m toliau, veikia ta pačia kryptimi nukreiptas 200 N·m sukimo momentas. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τmax velene.

d = 50 mmTB = 750 N·mTC = 200 N·mAB = 1 mBC = 2,5 m
τmax = MPa
5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis
σx​ = −70σy​ = −20τxy​ = 30MPa

Apkrautos detalės taške σₓ = −70 MPa, σᵧ = −20 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τmax.

σx = −70 MPaσy = −20 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus
σx​ = −40σy​ = 100τxy​ = −30MPa

Apkrautos detalės taške σₓ = −40 MPa, σᵧ = 100 MPa ir τₓᵧ = −30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σθ pjūvyje, kurio normalė pasukta 50° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σx = −40 MPaσy = 100 MPaτxy = −30 MPaθ = 50°
σθ = MPa
7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis
200 kNØ25100 GPaØ100/70500 mmδ = ?

plienas strypas (skersmuo 25 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš žalvaris (išorinis skersmuo 100 mm, vidinis skersmuo 70 mm, E = 100 GPa). Abu 500 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 200 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 200 kNstrypas: Ø25 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 500 mm
δ = mm
8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus
Ø 40 mmPlienas1,5 mØ 16 mmŽalvaris1,5 mP = 115 kN

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 115 kN1 ruožas: Ø40 mm, 1,5 m, plienas (E = 200 GPa)2 ruožas: Ø16 mm, 1,5 m, žalvaris (E = 100 GPa)
δ = mm
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 3 m30 × 40 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
PL = 2,5 md = 50 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σcr pagal Oilerio formulę.

L = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)d = 50 mm
σcr = MPa
11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis
k = 80 kN/mζ = 0,7m = 200 kg

200 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 80 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,7. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį fd Hz.

m = 200 kgk = 80 kN/mζ = 0,7
fd = Hz
12.Mechaniniai virpesiaiSunkus
k1​ = 20k2​ = 15k3​ = 50m = 100 kg

100 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 50 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 20 kN/m ir k₂ = 15 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį fn Hz.

m = 100 kgk1 = 20 kN/mk2 = 15 kN/mk3 = 50 kN/m
fn = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T2 = 2,639 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 750/303,7 = 2,47 N·m

Išėjimo sukimo momentas

T2 = 2,47·45/40·0,95 = 2,639 N·m

Atsakymas

T2 = 2,639 N·m
2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: θ = 152,2 °

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = eμθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo kampas

asin(0,24) = 13,89°

Apkabos kampas

θ = 180 − 2·13,89 = 152,2°

Atsakymas

θ = 152,2°
3.Velenų sukimas

Atsakymas: G = 26,05 GPa

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas ir kampas

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
φ = 1,4·π/180 = 0,02443 rad

Šlyties modulis

T = 50 N·m = 50000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 50000·200/(15708·0,02443) = 26054 MPa
G = 26,05 GPa

Atsakymas

G = 26,05 GPa

Palyginimui: plienas ≈ 80 GPa, žalvaris ≈ 39 GPa, aliuminis ≈ 26 GPa.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τmax = 38,71 MPa

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Vidiniai sukimo momentai

TC kryptis laikoma teigiama.

TBC = TC = 200 N·m
TAB = TC + TB = 200 + 750 = 950 N·m

Didžiausias tangentinis įtempis

Ruože su didžiausiu vidiniu sukimo momentu įtempis didžiausias (skersmuo tas pats).

|T|max = 950 N·m
τmax = 16·950000/(π·50³) = 38,71 MPa

Atsakymas

τmax = 38,71 MPa
5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τmax = 39,05 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

στxyCτmax​

Moro apskritimo spindulys

τmax = R = √(((−70 − −20)/2)² + 30²) = 39,05 MPa

Atsakymas

τmax = 39,05 MPa
6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σθ = 12,61 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Transformacijos lygtis

σθ = 30 + −70·−0,1736 + −30·0,9848 = 12,61 MPa

Atsakymas

σθ = 12,61 MPa
7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,2005 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, Pi = P·EiAi/ΣEA, o σi = Ei·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

Ar = π·25²/4 = 490,9 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·4006 = 4,987 × 10⁸ N

Sutrumpėjimas

δ = 200000·500/4,987 × 10⁸ = 0,2005 mm

Atsakymas

δ = 0,2005 mm
8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 9,266 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 91,51 MPa
σ2 = 572 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ1 = σ1L1/E1 = 91,51·1500/200000 = 0,6864 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 572·1500/100000 = 8,579 mm
δ = δ1 + δ2 = 9,266 mm

Atsakymas

δ = 9,266 mm
9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 6,909 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·3000 = 3000 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·90000/3000² = 6909 N = 6,909 kN

Atsakymas

Pcr = 6,909 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σcr = 100,7 MPa

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 0,7·2500 = 1750 mm
KL/r = 1750/12,5 = 140

Kritinis įtempis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100,7 MPa

Atsakymas

σcr = 100,7 MPa
11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: fd = 2,273 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ωn = √(80000/200) = 20 rad/s
fn = 20/(2π) = 3,183 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

fd = fn·√(1 − ζ²) = 3,183·√(1 − 0,7²) = 2,273 Hz

Atsakymas

fd = 2,273 Hz
12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: fn = 2,284 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k1 ir k2. Ši pora nuosekliai sujungta su k3, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k12 = 20 + 15 = 35 kN/m
keq = 35·50/(35 + 50) = 20,59 kN/m

Savasis dažnis

ωn = √(20588/100) = 14,35 rad/s
fn = 14,35/(2π) = 2,284 Hz

Atsakymas

fn = 2,284 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design