Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Sliekas (pradų skaičius 3) sukasi 960 rpm greičiu ir suka sliekratį su 60 dantų. Raskite sliekračio sukimosi greitį n_w.

z = 3N_w = 60n = 960 rpm

n_w = rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Planetinėje pavaroje saulės krumpliaratis turi 16 dantų, o kiekvienas satelitas – 24 dantų. Vedžiklis nejudamas, o saulės krumpliaratis sukamas 1440 rpm greičiu. Raskite vainikinio krumpliaračio sukimosi greitį n_r (didumą).

N_s = 16N_p = 24n_s = 1440 rpm

n_r = rpm

3.Velenų sukimasVidutinis

Pakopinis pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas taške A. Ruožo AB skersmuo 30 mm, ilgis 1,2 m; ruožo BC skersmuo 25 mm, ilgis 2,5 m. Laisvajame gale C veikia 100 N·m sukimo momentas. Raskite galo C sukimo kampą φ_C laipsniais.

T = 100 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 1,2 md₂ = 25 mm, L₂ = 2,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas turi perduoti 5 kW esant 1450 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 50 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 5 kWN = 1450 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 20 MPa, σᵧ = −30 MPa ir τₓᵧ = 10 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = 20 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonasienis cilindrinis rezervuaras, kurio vidinis skersmuo 600 mm, o sienelės storis 5 mm, laiko dujas, kurių manometrinis slėgis 2,5 MPa. Jis pagamintas iš lakšto, suvirinto sraigine siūle, sudarančia 60° kampą su cilindro ašimi. Raskite normalinį įtempį σ_n, veikiantį skersai suvirinimo siūlės.

D = 600 mmt = 5 mmp = 2,5 MPaα = 60°

σ_n = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Strypą sudaro plienas atkarpa (skersmuo 30 mm, ilgis 600 mm, E = 200 GPa), galais sujungta su atkarpa iš varis (skersmuo 60 mm, ilgis 300 mm, E = 120 GPa). Vienas galas įtvirtintas, kitas traukiamas. Raskite ašinę apkrovą P, kuri jį iš viso pailgina 0,5 mm.

1 atkarpa: plienas, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: varis, Ø60 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 20 kN1 ruožas: Ø35 mm, 1,5 m, žalvaris (E = 100 GPa)2 ruožas: Ø16 mm, 1,5 m, plienas (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 3 mE = 200 GPa (plienas)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

100 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 10 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,35. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 100 kgk = 10 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

50 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 50 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 25 kN/m ir k₂ = 5 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 50 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_w = 48 rpm

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Sliekračio greitis

n_w = n·z/N_w = 960·3/60 = 48 rpm

Atsakymas

n_w = 48 rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_r = 360 rpm

Planetinės pavaros: saulės krumpliaračio, vainiko ir vedžiklio greičius sieja Viliso lygtis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: žiūrint iš vedžiklio, tai paprasta krumpliaračių pavara, kurioje satelitai yra tarpiniai krumpliaračiai. Užfiksavus vieną narį, pavara tampa reduktoriumi su vienu perdavimo skaičiumi.

Vainikinio krumpliaračio dantys

N_r = N_s + 2·N_p = 16 + 2·24 = 64

Viliso lygtis, kai vedžiklis nejudamas

Kai n_c = 0, saulės krumpliaratis per satelitus suka vainiką, o satelitai veikia kaip tarpiniai krumpliaračiai.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1440·16/64 = −360 rpm

|n_r| = 360 rpm

Atsakymas

n_r = 360 rpm

Vainikas sukasi priešinga kryptimi nei saulės krumpliaratis.

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ_C = 17,69 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Poliniai inercijos momentai

J₁ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Kiekvieno ruožo sukimo kampas

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 100000·1200/(26000·79522) = 0,05804 rad

φ_BC = 100000·2500/(26000·38350) = 0,2507 rad

Bendras sukimo kampas

φ_C = 0,05804 + 0,2507 = 0,3088 rad = 17,69°

Atsakymas

φ_C = 17,69°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 14,97 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 5000/151,8 = 32,93 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·32929/(π·50)) = 14,97 mm

Atsakymas

d = 14,97 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 26,93 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((20 − −30)/2)² + 10²) = 26,93 MPa

Atsakymas

τ_max = 26,93 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_n = 93,75 MPa

Sienelės įtempiai

r = 600/2 = 300 mm

σ_h = pr/t = 2,5·300/5 = 150 MPa

σ_a = pr/(2t) = 75 MPa

Transformuokite į siūlę

Ašį x imkite išilgai cilindro ašies (σ_a), o y – žiedo kryptimi (σ_h). Siūlės normalė su ašimi sudaro 90° − α kampą.

σ_n = 75·sin²60° + 150·cos²60° = 93,75 MPa

Atsakymas

σ_n = 93,75 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P = 97,5 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Lankstumai

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·2827) = 8,842 × 10⁻⁷ mm/N

Apkrova

P = 0,5/5,128 × 10⁻⁶ = 97498 N = 97,5 kN

Atsakymas

P = 97,5 kN

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 1,058 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 20,79 MPa

σ₂ = 99,47 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 20,79·1500/100000 = 0,3118 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 99,47·1500/200000 = 0,746 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,058 mm

Atsakymas

δ = 1,058 mm

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 7,931 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·90000/2800² = 7931 N = 7,931 kN

Atsakymas

P_cr = 7,931 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 87,73 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/20 = 150

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/150² = 87,73 MPa

Atsakymas

σ_cr = 87,73 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 1,491 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(10000/100) = 10 rad/s

f_n = 10/(2π) = 1,592 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,592·√(1 − 0,35²) = 1,491 Hz

Atsakymas

f_d = 1,491 Hz

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 3,082 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 25 + 5 = 30 kN/m

k_eq = 30·50/(30 + 50) = 18,75 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(18750/50) = 19,36 rad/s

f_n = 19,36/(2π) = 3,082 Hz

Atsakymas

f_n = 3,082 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design