Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

2,2 kW variklis, besisukantis 2900 rpm greičiu, suka krumpliaratuką su 20 dantų, kurio modulis 5 mm. Raskite tangentinę jėgą F_t, veikiančią krumpliaratuko dantis.

P = 2,2 kWn = 2900 rpmN₁ = 20m = 5 mm

F_t = N

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (48 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 1440 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (80 dantų). Krumpliaratis C (48 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (80 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį n_out.

n_in = 1440 rpmA = 48B = 80C = 48D = 80

n_out = rpm

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (plienas) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 250 N·md = 25 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (žalvaris), kurio skersmuo 40 mm, įtvirtintas taške A. Taške B, 1,2 m atstumu nuo A, veikia 1500 N·m sukimo momentas, o laisvajame gale C, dar 0,5 m toliau, veikia priešinga kryptimi nukreiptas 1000 N·m sukimo momentas. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

d = 40 mmT_B = 1500 N·mT_C = 1000 N·mAB = 1,2 mBC = 0,5 m

τ_max = MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 130 MPa, σᵧ = 100 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_s tarp −90° ir 90° nuo x ašies iki plokštumos, kurioje tangentinis įtempis pasiekia didžiausią teigiamą vertę +R, normalės (tangentinis įtempis teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σ_x = 130 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = −40 MPa, σᵧ = 0 MPa ir τₓᵧ = 20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 40° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = −40 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (plienas) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 70 kNd = 16 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas strypas (skersmuo 25 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 200 MPa) yra viduje vamzdžio iš aliuminis (išorinis skersmuo 120 mm, vidinis skersmuo 60 mm, E = 70 GPa, leistinasis įtempis 60 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą P_max.

strypas: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPavamzdis: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 1 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

10 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 150 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 1470 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 10 kgk = 150 kN/mc = 1470 N·s/m

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

5 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 15 kN/m, apatinės k₂ = 25 kN/m. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 5 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: F_t = 144,9 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Krumpliaratuko sukimo momentas

ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T = P/ω = 2200/303,7 = 7,244 N·m

Dalijamasis skersmuo

d = m·N = 5·20 = 100 mm

Tangentinė jėga

F_t = 2T/d = 2·7,244/0,1 = 144,9 N

Atsakymas

F_t = 144,9 N

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_out = 518,4 rpm

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Pirmoji pakopa

n_B = 1440·48/80 = 864 rpm = n_C

Antroji pakopa

n_out = 864·48/80 = 518,4 rpm

Atsakymas

n_out = 518,4 rpm

bendras perdavimo skaičius = 2,778 : 1

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 9,338 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2000/(80000·38350) = 0,163 rad

φ = 0,163·180/π = 9,338°

Atsakymas

φ = 9,338°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 79,58 MPa

Vidiniai sukimo momentai

T_C kryptis laikoma teigiama.

T_BC = T_C = 1000 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1000 − 1500 = −500 N·m

Didžiausias tangentinis įtempis

Ruože su didžiausiu vidiniu sukimo momentu įtempis didžiausias (skersmuo tas pats).

|T|_max = 1000 N·m

τ_max = 16·1 × 10⁶/(π·40³) = 79,58 MPa

Atsakymas

τ_max = 79,58 MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_s = −13,28 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Kampas apskritime

Moro apskritime viršutinis taškas (+R) nuo pagrindinio taško σ₁ nutolęs 90°; elemente tai atitinka 45°.

cos 2θ_s = 30/33,54 = 0,8944, sin 2θ_s = −15/33,54 = −0,4472

2θ_s = atan2(−15, 30) = −26,57°

Kampas elemente

θ_s = −13,28°

patikra: θ_s − θ_p = −13,28 − 31,72 = −45°

Atsakymas

θ_s = −13,28°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = −3,777 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = −20 + −20·0,1736 + 20·0,9848 = −3,777 MPa

Atsakymas

σ_θ = −3,777 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 2,611 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 70·1000/201,1 = 348,2 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for plienas = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 348,2/200000 = 0,001741 = 1741 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,001741·1500 mm = 2,611 mm

Atsakymas

δ = 2,611 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P_max = 593,1 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·8482 = 6,919 × 10⁸ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,001, 0,0008571) = 0,0008571 (aliuminis)

Didžiausia apkrova

P_max = 0,0008571·6,919 × 10⁸ = 593088 N = 593,1 kN

Atsakymas

P_max = 593,1 kN

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 134,3 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/700² = 134280 N = 134,3 kN

Atsakymas

P_cr = 134,3 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 17,27 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 1·1000 = 1000 mm

KL/r = 1000/5 = 200

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Atsakymas

σ_cr = 17,27 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,6001

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·10) = 2449 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 1470/2449 = 0,6001

Atsakymas

ζ = 0,6001

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 6,892 Hz

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/15 + 1/25 → k_eq = 15·25/(15 + 25) = 9,375 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(9375/5) = 43,3 rad/s

f_n = 43,3/(2π) = 6,892 Hz

Atsakymas

f_n = 6,892 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design