Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

4 kW variklis, besisukantis 960 rpm greičiu, suka krumpliaratuką su 16 dantų, kurio modulis 3 mm. Raskite tangentinę jėgą F_t, veikiančią krumpliaratuko dantis.

P = 4 kWn = 960 rpmN₁ = 16m = 3 mm

F_t = N

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (16 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 960 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (40 dantų). Krumpliaratis C (18 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (60 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį n_out.

n_in = 960 rpmA = 16B = 40C = 18D = 60

n_out = rpm

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 750 N·md = 30 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 100 kW esant 750 rpm. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,8, o tangentinis įtempis negali viršyti 80 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį d_o.

P = 100 kWN = 750 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 130 MPa, σᵧ = 30 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_s tarp −90° ir 90° nuo x ašies iki plokštumos, kurioje tangentinis įtempis pasiekia didžiausią teigiamą vertę +R, normalės (tangentinis įtempis teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σ_x = 130 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 80 MPa, σᵧ = −60 MPa ir τₓᵧ = 60 MPa (σ_z = 0). Medžiagos takumo riba 350 MPa. Raskite atsargos koeficientą n takumo atžvilgiu pagal Treskos (didžiausio tangentinio įtempio) kriterijų.

σ_x = 80 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 60 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (žalvaris) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 65 kNd = 16 mmL = 1,5 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 25 mm, ilgis 500 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš varis (skersmuo 40 mm, ilgis 400 mm, E = 120 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 30 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: varis, Ø40 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 20 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 30 kN su 3 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 30 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 10 mm poslinkio amplitudės po 4 ciklų seka 1,3 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

x₀ = 10 mmx₄ = 1,3 mmn = 4

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

100 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 20 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 30 kN/m ir k₂ = 100 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 100 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: F_t = 1658 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Krumpliaratuko sukimo momentas

ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T = P/ω = 4000/100,5 = 39,79 N·m

Dalijamasis skersmuo

d = m·N = 3·16 = 48 mm

Tangentinė jėga

F_t = 2T/d = 2·39,79/0,048 = 1658 N

Atsakymas

F_t = 1658 N

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_out = 115,2 rpm

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Pirmoji pakopa

n_B = 960·16/40 = 384 rpm = n_C

Antroji pakopa

n_out = 384·18/60 = 115,2 rpm

Atsakymas

n_out = 115,2 rpm

bendras perdavimo skaičius = 8,333 : 1

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 10,39 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 750·1000·500/(26000·79522) = 0,1814 rad

φ = 0,1814·180/π = 10,39°

Atsakymas

φ = 10,39°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d_o = 51,59 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 100000/78,54 = 1273 N·m

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 1273 N·m = 1,273 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,273 × 10⁶/(π·80·0,5904)) = 51,59 mm

d_i = 0,8·51,59 = 41,27 mm

Atsakymas

d_o = 51,59 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 43,28 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_s = −29,52 °

Kampas apskritime

Moro apskritime viršutinis taškas (+R) nuo pagrindinio taško σ₁ nutolęs 90°; elemente tai atitinka 45°.

cos 2θ_s = 30/58,31 = 0,5145, sin 2θ_s = −50/58,31 = −0,8575

2θ_s = atan2(−50, 30) = −59,04°

Kampas elemente

θ_s = −29,52°

patikra: θ_s − θ_p = −29,52 − 15,48 = −45°

Atsakymas

θ_s = −29,52°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: n = 1,898

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Takumo kriterijai: pagal fon Mizesą takumas prasideda, kai σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) pasiekia σ_Y; pagal Treską – kai absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis pasiekia σ_Y/2.

Pagrindiniai įtempiai

C = 10 MPa, R = 92,2 MPa

σ₁ = 102,2 MPa, σ₂ = −82,2 MPa, σ₃ = 0

Treska

σ_max − σ_min = 184,4 MPa

n = 350/184,4 = 1,898

Atsakymas

n = 1,898

n > 1 reiškia, kad taške takumas neprasideda; Treskos kriterijus kiek konservatyvesnis nei fon Mizeso.

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 3233 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 65·1000/201,1 = 323,3 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for žalvaris = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 323,3/100000 = 0,003233 = 3233 µε

Atsakymas

ε = 3233 µε

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 15,7 MPa

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Standumai

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 120000·1257/400 = 376991 N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 30000·376991/573341 = 19726 N

Įtempis

σ₂ = 19726/1257 = 15,7 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 15,7 MPa

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 2,412 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1500² = 2412 N = 2,412 kN

Atsakymas

P_cr = 2,412 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 31,04 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 3·30000 = 90000 N

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 31,04 mm

Atsakymas

d = 31,04 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 128,8, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,08091

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritminis slopinimo dekrementas

δ = (1/4)·ln(10/1,3) = 0,5101

Slopinimo koeficientas

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,5101/√(39,48 + 0,2602) = 0,08091

Atsakymas

ζ = 0,08091

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 2,095 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 30 + 100 = 130 kN/m

k_eq = 130·20/(130 + 20) = 17,33 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(17333/100) = 13,17 rad/s

f_n = 13,17/(2π) = 2,095 Hz

Atsakymas

f_n = 2,095 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design