Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

3 kW variklis, besisukantis 1440 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 25; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 40. Nuostolių nepaisykite. Raskite sukimo momentą T₁ variklio velene.

P = 3 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 25N₂ = 40η = 100%

T₁ = N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (45 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 1500 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (80 dantų). Krumpliaratis C (32 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (60 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį n_out.

n_in = 1500 rpmA = 45B = 80C = 32D = 60

n_out = rpm

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (plienas) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 200 N·md = 25 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (žalvaris), kurio skersmuo 60 mm, įtvirtintas taške A. Taške B, 1,5 m atstumu nuo A, veikia 200 N·m sukimo momentas, o laisvajame gale C, dar 3 m toliau, veikia ta pačia kryptimi nukreiptas 250 N·m sukimo momentas. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

d = 60 mmT_B = 200 N·mT_C = 250 N·mAB = 1,5 mBC = 3 m

τ_max = MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 10 MPa, σᵧ = −40 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = 10 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonasienis cilindrinis rezervuaras, kurio vidinis skersmuo 1200 mm, o sienelės storis 12 mm, laiko dujas, kurių manometrinis slėgis 2,5 MPa. Jis pagamintas iš lakšto, suvirinto sraigine siūle, sudarančia 60° kampą su cilindro ašimi. Raskite normalinį įtempį σ_n, veikiantį skersai suvirinimo siūlės.

D = 1200 mmt = 12 mmp = 2,5 MPaα = 60°

σ_n = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (plienas) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 30 kNd = 25 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 35 kN1 ruožas: Ø35 mm, 1 m, žalvaris (E = 100 GPa)2 ruožas: Ø20 mm, 2 m, varis (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (plienas)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Ji turi atlaikyti 65 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 65 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

20 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 20 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 190 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 20 kgk = 20 kN/mc = 190 N·s/m

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

10 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 10 kN/m ir k₂ = 12 kN/m. Masė lieka horizontali. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 10 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T₁ = 19,89 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/150,8 = 19,89 N·m

Atsakymas

T₁ = 19,89 N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_out = 450 rpm

Pirmoji pakopa

n_B = 1500·45/80 = 843,8 rpm = n_C

Antroji pakopa

n_out = 843,8·32/60 = 450 rpm

Atsakymas

n_out = 450 rpm

bendras perdavimo skaičius = 3,333 : 1

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 9,338 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(80000·38350) = 0,163 rad

φ = 0,163·180/π = 9,338°

Atsakymas

φ = 9,338°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 10,61 MPa

Vidiniai sukimo momentai

T_C kryptis laikoma teigiama.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C + T_B = 250 + 200 = 450 N·m

Didžiausias tangentinis įtempis

Ruože su didžiausiu vidiniu sukimo momentu įtempis didžiausias (skersmuo tas pats).

|T|_max = 450 N·m

τ_max = 16·450000/(π·60³) = 10,61 MPa

Atsakymas

τ_max = 10,61 MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 39,05 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((10 − −40)/2)² + 30²) = 39,05 MPa

Atsakymas

τ_max = 39,05 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_n = 78,13 MPa

Sienelės įtempiai

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 2,5·600/12 = 125 MPa

σ_a = pr/(2t) = 62,5 MPa

Transformuokite į siūlę

Ašį x imkite išilgai cilindro ašies (σ_a), o y – žiedo kryptimi (σ_h). Siūlės normalė su ašimi sudaro 90° − α kampą.

σ_n = 62,5·sin²60° + 125·cos²60° = 78,13 MPa

Atsakymas

σ_n = 78,13 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,1528 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 30·1000/490,9 = 61,12 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for plienas = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 61,12/200000 = 0,0003056 = 305,6 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,0003056·500 mm = 0,1528 mm

Atsakymas

δ = 0,1528 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 2,268 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 36,38 MPa

σ₂ = 111,4 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 36,38·1000/100000 = 0,3638 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 111,4·2000/117000 = 1,904 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,268 mm

Atsakymas

δ = 2,268 mm

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 102,5 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/3500² = 102511 N = 102,5 kN

Atsakymas

P_cr = 102,5 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 108,4 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2·65000 = 130000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·130000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 108,4 mm

Atsakymas

d = 108,4 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 221,4, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,1502

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·20) = 1265 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 190/1265 = 0,1502

Atsakymas

ζ = 0,1502

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 22 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k₁ + k₂.

k_eq = 10 + 12 = 22 kN/m

Atsakymas

k_eq = 22 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design