Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

22 kW variklis, besisukantis 1440 rpm greičiu, suka krumpliaratuką su 20 dantų, kurio modulis 3 mm. Raskite tangentinę jėgą F_t, veikiančią krumpliaratuko dantis.

P = 22 kWn = 1440 rpmN₁ = 20m = 3 mm

F_t = N

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Sudėtinėje krumpliaračių pavaroje krumpliaratis A (25 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 960 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (60 dantų). Krumpliaratis C (45 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D ant išėjimo veleno. Išėjimo velenas turi suktis 300 rpm greičiu. Kiek dantų N_D turi turėti krumpliaratis D?

n_in = 960 rpmA = 25B = 60C = 45n_out = 300 rpm

N_D =

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 200 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas perduoda 30 kW esant 500 aps./min. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

P = 30 kWN = 500 rpmd_o = 60 mmd_i = 45 mm

τ_max = MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = −70 MPa, σᵧ = 120 MPa ir τₓᵧ = 10 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_p nuo x ašies iki didžiausio pagrindinio įtempio krypties, intervale nuo −90° iki 90°.

σ_x = −70 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_p = °

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 60 MPa, σᵧ = −10 MPa ir τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). Medžiagos takumo riba 275 MPa. Raskite atsargos koeficientą n takumo atžvilgiu pagal fon Mizeso (formos keitimo energijos) kriterijų.

σ_x = 60 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

plienas strypas (skersmuo 40 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš žalvaris (išorinis skersmuo 80 mm, vidinis skersmuo 60 mm, E = 100 GPa). Abu 400 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 50 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 50 kNstrypas: Ø40 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 40 mm, ilgis 300 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš varis (skersmuo 60 mm, ilgis 300 mm, E = 120 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 40 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: varis, Ø60 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

40 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 5 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 130 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 40 kgk = 5 kN/mc = 130 N·s/m

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

5 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 20 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 100 kN/m ir k₂ = 100 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 5 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: F_t = 4863 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Krumpliaratuko sukimo momentas

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T = P/ω = 22000/150,8 = 145,9 N·m

Dalijamasis skersmuo

d = m·N = 3·20 = 60 mm

Tangentinė jėga

F_t = 2T/d = 2·145,9/0,06 = 4863 N

Atsakymas

F_t = 4863 N

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: N_D = 60

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Tarpinio veleno greitis

n_B = n_C = 960·25/60 = 400 rpm

Krumpliaračio D dantys

N_D = C·n_C/n_out = 45·400/300 = 60

Atsakymas

N_D = 60

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 1,796 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(26000·613592) = 0,03134 rad

φ = 0,03134·180/π = 1,796°

Atsakymas

φ = 1,796°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 19,76 MPa

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 30000/52,36 = 573 N·m

Polinis inercijos momentas

J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴

Didžiausias tangentinis įtempis

τ_max = T·(d_o/2)/J = 572958·30/869767 = 19,76 MPa

Atsakymas

τ_max = 19,76 MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_p = 87 °

Kampas apskritime

Moro apskritime taškas x yra kampu 2θp nuo σ ašies; ketvirtis priklauso nuo σₓ − σᵧ ir τₓᵧ ženklų.

2θ_p = atan2(2·10, −70 − 120) = 174°

Kampas elemente

θ_p = 87°

Atsakymas

θ_p = 87°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: n = 4,055

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Takumo kriterijai: pagal fon Mizesą takumas prasideda, kai σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) pasiekia σ_Y; pagal Treską – kai absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis pasiekia σ_Y/2.

Pagrindiniai įtempiai

C = 25 MPa, R = 36,4 MPa

σ₁ = 61,4 MPa, σ₂ = −11,4 MPa, σ₃ = 0

Fon Mizesas

σ_vM = √(61,4² − 61,4·(−11,4) + (−11,4)²) = 67,82 MPa

n = 275/67,82 = 4,055

Atsakymas

n = 4,055

n > 1 reiškia, kad taške takumas neprasideda; Treskos kriterijus kiek konservatyvesnis nei fon Mizeso.

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,04244 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·2199 = 4,712 × 10⁸ N

Sutrumpėjimas

δ = 50000·400/4,712 × 10⁸ = 0,04244 mm

Atsakymas

δ = 0,04244 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 8,127 MPa

Standumai

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 120000·2827/300 = 1,131 × 10⁶ N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 40000·1,131 × 10⁶/1,969 × 10⁶ = 22979 N

Įtempis

σ₂ = 22979/2827 = 8,127 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 8,127 MPa

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 14,28 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·1500 = 3000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/3000² = 14279 N = 14,28 kN

Atsakymas

P_cr = 14,28 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 8,812 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/10 = 280

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8,812 MPa

Atsakymas

σ_cr = 8,812 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,1453

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(5000·40) = 894,4 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 130/894,4 = 0,1453

Atsakymas

ζ = 0,1453

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 9,597 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 100 + 100 = 200 kN/m

k_eq = 200·20/(200 + 20) = 18,18 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(18182/5) = 60,3 rad/s

f_n = 60,3/(2π) = 9,597 Hz

Atsakymas

f_n = 9,597 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design