Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Du lygiagretūs velenai yra 81 mm atstumu vienas nuo kito. Juos reikia sujungti cilindrinių tiesiadančių krumpliaračių pora, kurios modulis 1,5 mm, o greičio sumažinimas 5 : 1. Kiek dantų N₁ turi turėti krumpliaratukas?

a = 81 mmm = 1,5 mmi = 5

N₁ =

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (24 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 1500 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (48 dantų). Krumpliaratis C (24 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (32 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį n_out.

n_in = 1500 rpmA = 24B = 48C = 24D = 32

n_out = rpm

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (plienas) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 400 N·md = 25 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 15 kW esant 1450 rpm. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,8, o tangentinis įtempis negali viršyti 60 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį d_o.

P = 15 kWN = 1450 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 20 MPa, σᵧ = 70 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = 20 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Pilnaviduris 60 mm skersmens velenas perduoda 140 kN ašinę gniuždymo jėgą kartu su 500 N·m sukimo momentu. Veleno paviršiuje raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

d = 60 mmF = −140 kNT = 500 N·m

τ_max = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (varis) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 95 kNd = 30 mmL = 3 mE = 117 GPa

ε = µε

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 25 mm, ilgis 300 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš varis (skersmuo 30 mm, ilgis 300 mm, E = 120 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 80 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: varis, Ø30 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 1 mE = 200 GPa (plienas)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

500 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 100 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 8490 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 500 kgk = 100 kN/mc = 8490 N·s/m

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

100 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 30 kN/m ir k₂ = 12 kN/m. Masė lieka horizontali. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 100 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: N₁ = 18

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Bendras dantų skaičius

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·81/1,5 = 108

Padalykite pagal perdavimo skaičių

N₁ = 108/(1 + 5) = 18

Atsakymas

N₁ = 18

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_out = 562,5 rpm

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Pirmoji pakopa

n_B = 1500·24/48 = 750 rpm = n_C

Antroji pakopa

n_out = 750·24/32 = 562,5 rpm

Atsakymas

n_out = 562,5 rpm

bendras perdavimo skaičius = 2,667 : 1

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 18,68 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2500/(80000·38350) = 0,3259 rad

φ = 0,3259·180/π = 18,68°

Atsakymas

φ = 18,68°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d_o = 24,22 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 15000/151,8 = 98,79 N·m

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 98,79 N·m = 98786 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·98786/(π·60·0,5904)) = 24,22 mm

d_i = 0,8·24,22 = 19,37 mm

Atsakymas

d_o = 24,22 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 20,32 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 39,05 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((20 − 70)/2)² + 30²) = 39,05 MPa

Atsakymas

τ_max = 39,05 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 27,42 MPa

Įtempiai paviršiuje

σ = F/A = −140000/(π·60²/4) = −140000/2827 = −49,51 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·60³) = 11,79 MPa

Moro apskritimas

C = σ/2 = −24,76 MPa

R = √((−24,76)² + 11,79²) = 27,42 MPa

Atsakymas

τ_max = 27,42 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 1149 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 95·1000/706,9 = 134,4 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for varis = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 134,4/117000 = 0,001149 = 1149 µε

Atsakymas

ε = 1149 µε

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 52,46 MPa

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Standumai

k₁ = 200000·490,9/300 = 327249 N/mm

k₂ = 120000·706,9/300 = 282743 N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 80000·282743/609993 = 37082 N

Įtempis

σ₂ = 37082/706,9 = 52,46 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 52,46 MPa

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 322,3 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/1400² = 322273 N = 322,3 kN

Atsakymas

P_cr = 322,3 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 111 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/15 = 133,3

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133,3² = 111 MPa

Atsakymas

σ_cr = 111 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,6003

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·500) = 14142 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 8490/14142 = 0,6003

Atsakymas

ζ = 0,6003

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 3,262 Hz

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k₁ + k₂.

k_eq = 30 + 12 = 42 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(42000/100) = 20,49 rad/s

f_n = 20,49/(2π) = 3,262 Hz

Atsakymas

f_n = 3,262 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design