Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

200 mm skriemulys sukasi 960 rpm ir diržu suka 400 mm skriemulį, slydimas 3 %. Raskite varomojo skriemulio sūkių dažnį n₂.

n₁ = 960 rpmd₁ = 200 mmd₂ = 400 mms = 3 %

n₂ = rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

15 kW variklis, besisukantis 1450 rpm greičiu, suka krumpliaratį A (18 dantų), kuris sukimba su krumpliaračiu B (48 dantų). Krumpliaratis C (45 dantų), esantis ant to paties veleno kaip B, suka krumpliaratį D (50 dantų) ant išėjimo veleno. Kiekvieno sukibimo naudingumo koeficientas 98%. Raskite išėjimo sukimo momentą T_out.

P = 15 kWn_in = 1450 rpmA = 18B = 48C = 45D = 50η_mesh = 98%

T_out = N·m

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 100 N·md = 20 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas turi perduoti 30 kW esant 1450 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 75 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 30 kWN = 1450 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = −60 MPa, σᵧ = −10 MPa ir τₓᵧ = 10 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_s tarp −90° ir 90° nuo x ašies iki plokštumos, kurioje tangentinis įtempis pasiekia didžiausią teigiamą vertę +R, normalės (tangentinis įtempis teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σ_x = −60 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_s = °

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonasienis cilindrinis rezervuaras, kurio vidinis skersmuo 600 mm, o sienelės storis 10 mm, laiko dujas, kurių manometrinis slėgis 2,5 MPa. Jis pagamintas iš lakšto, suvirinto sraigine siūle, sudarančia 20° kampą su cilindro ašimi. Raskite normalinį įtempį σ_n, veikiantį skersai suvirinimo siūlės.

D = 600 mmt = 10 mmp = 2,5 MPaα = 20°

σ_n = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

plienas strypas (skersmuo 30 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš žalvaris (išorinis skersmuo 120 mm, vidinis skersmuo 50 mm, E = 100 GPa). Abu 400 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 250 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 250 kNstrypas: Ø30 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas strypas (skersmuo 25 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 160 MPa) yra viduje vamzdžio iš aliuminis (išorinis skersmuo 80 mm, vidinis skersmuo 60 mm, E = 70 GPa, leistinasis įtempis 70 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą P_max.

strypas: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPavamzdis: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 10 mm poslinkio amplitudės po 2 ciklų seka 2,2 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

x₀ = 10 mmx₂ = 2,2 mmn = 2

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

25 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 10 kN/m ir k₂ = 60 kN/m. Masė lieka horizontali. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 25 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 60 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n₂ = 465,6 rpm

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Sūkių dažnis be slydimo

960·200/400 = 480 rpm

Su slydimu

n₂ = 480·0,97 = 465,6 rpm

Atsakymas

n₂ = 465,6 rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T_out = 281,1 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Išėjimo sukimosi dažnis

n_out = 1450·(18/48)·(45/50) = 489,4 rpm

ω_out = 2π·489,4/60 = 51,25 rad/s

Išėjimo galia ir sukimo momentas

P_out = 15000·0,98² = 14406 W

T_out = P_out/ω_out = 14406/51,25 = 281,1 N·m

Atsakymas

T_out = 281,1 N·m

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 7,015 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 100·1000·500/(26000·15708) = 0,1224 rad

φ = 0,1224·180/π = 7,015°

Atsakymas

φ = 7,015°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 23,76 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 30000/151,8 = 197,6 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·197572/(π·75)) = 23,76 mm

Atsakymas

d = 23,76 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_s = 34,1 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Kampas apskritime

Moro apskritime viršutinis taškas (+R) nuo pagrindinio taško σ₁ nutolęs 90°; elemente tai atitinka 45°.

cos 2θ_s = 10/26,93 = 0,3714, sin 2θ_s = −(−25)/26,93 = 0,9285

2θ_s = atan2(25, 10) = 68,2°

Kampas elemente

θ_s = 34,1°

patikra: θ_s − θ_p = 34,1 − 79,1 = −45°

Atsakymas

θ_s = 34,1°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_n = 70,61 MPa

Sienelės įtempiai

r = 600/2 = 300 mm

σ_h = pr/t = 2,5·300/10 = 75 MPa

σ_a = pr/(2t) = 37,5 MPa

Transformuokite į siūlę

Ašį x imkite išilgai cilindro ašies (σ_a), o y – žiedo kryptimi (σ_h). Siūlės normalė su ašimi sudaro 90° − α kampą.

σ_n = 37,5·sin²20° + 75·cos²20° = 70,61 MPa

Atsakymas

σ_n = 70,61 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,09294 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·9346 = 1,076 × 10⁹ N

Sutrumpėjimas

δ = 250000·400/1,076 × 10⁹ = 0,09294 mm

Atsakymas

δ = 0,09294 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P_max = 201,7 kN

Plotai

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·2199 = 2,521 × 10⁸ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,0008, 0,001) = 0,0008 (plienas)

Didžiausia apkrova

P_max = 0,0008·2,521 × 10⁸ = 201690 N = 201,7 kN

Atsakymas

P_max = 201,7 kN

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 81 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1750² = 80996 N = 81 kN

Atsakymas

P_cr = 81 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 26,99 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12,5 = 160

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26,99 MPa

Atsakymas

σ_cr = 26,99 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,1196

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritminis slopinimo dekrementas

δ = (1/2)·ln(10/2,2) = 0,7571

Slopinimo koeficientas

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,7571/√(39,48 + 0,5731) = 0,1196

Atsakymas

ζ = 0,1196

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 70 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k₁ + k₂.

k_eq = 10 + 60 = 70 kN/m

Atsakymas

k_eq = 70 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design