Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Diržas juda ant 160 mm varančiojo skriemulio, kuris sukasi 1500 rpm. Įtemptosios šakos įtempimas yra 1500 N, laisvosios – 450 N. Raskite perduodamą galią P kW.

d₁ = 160 mmn₁ = 1500 rpmT₁ = 1500 NT₂ = 450 N

P = kW

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (20 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 3000 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (40 dantų). Krumpliaratis C (25 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (50 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį n_out.

n_in = 3000 rpmA = 20B = 40C = 25D = 50

n_out = rpm

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (plienas) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 250 N·md = 20 mmL = 0,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas turi perduoti 75 kW esant 1500 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 75 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 75 kWN = 1500 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 30 MPa ir σᵧ = 30 MPa. Kokio didumo gali būti tangentinis įtempis τ_xy, kol didžiausias pagrindinis įtempis pasieks 75 MPa?

σ_x = 30 MPaσ_y = 30 MPaσ₁ = 75 MPa

τ_xy = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = −80 MPa, σᵧ = −20 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite tangentinį įtempį τ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 30° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies (teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σ_x = −80 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 30°

τ_θ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (žalvaris) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 40 kNd = 25 mmL = 1,5 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 20 mm, ilgis 500 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš aliuminis (skersmuo 60 mm, ilgis 300 mm, E = 70 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 20 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: aliuminis, Ø60 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 4 mE = 200 GPa (plienas)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

15 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 50 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 350 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 15 kgk = 50 kN/mc = 350 N·s/m

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

25 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 60 kN/m ir k₂ = 100 kN/m. Masė lieka horizontali. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 25 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 13,19 kW

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo greitis

v = 12,57 m/s

Galia

P = (1500 − 450)·12,57 = 13195 W = 13,19 kW

Atsakymas

P = 13,19 kW

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_out = 750 rpm

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Pirmoji pakopa

n_B = 3000·20/40 = 1500 rpm = n_C

Antroji pakopa

n_out = 1500·25/50 = 750 rpm

Atsakymas

n_out = 750 rpm

bendras perdavimo skaičius = 4 : 1

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 5,699 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 250·1000·500/(80000·15708) = 0,09947 rad

φ = 0,09947·180/π = 5,699°

Atsakymas

φ = 5,699°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 31,89 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 75000/157,1 = 477,5 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·477465/(π·75)) = 31,89 mm

Atsakymas

d = 31,89 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_xy = 45 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Reikiamas spindulys

C = (30 + 30)/2 = 30 MPa

R = σ₁ − C = 75 − 30 = 45 MPa

Tangentinis įtempis

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(45² − 0²) = 45 MPa

Atsakymas

τ_xy = 45 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_θ = 40,98 MPa

Transformacijos lygtis

τ_θ = −−30·0,866 + 30·0,5 = 40,98 MPa

Atsakymas

τ_θ = 40,98 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 1,222 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 40·1000/490,9 = 81,49 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for žalvaris = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 81,49/100000 = 0,0008149 = 814,9 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,0008149·1500 mm = 1,222 mm

Atsakymas

δ = 1,222 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 5,942 MPa

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Standumai

k₁ = 200000·314,2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 70000·2827/300 = 659734 N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 20000·659734/785398 = 16800 N

Įtempis

σ₂ = 16800/2827 = 5,942 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 5,942 MPa

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 195,3 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/1500² = 195340 N = 195,3 kN

Atsakymas

P_cr = 195,3 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 4,819 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·4000 = 8000 mm

KL/r = 8000/12,5 = 640

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/640² = 4,819 MPa

Atsakymas

σ_cr = 4,819 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,2021

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·15) = 1732 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 350/1732 = 0,2021

Atsakymas

ζ = 0,2021

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 12,73 Hz

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k₁ + k₂.

k_eq = 60 + 100 = 160 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(160000/25) = 80 rad/s

f_n = 80/(2π) = 12,73 Hz

Atsakymas

f_n = 12,73 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design