Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Diržas juda ant 160 mm varančiojo skriemulio, kuris sukasi 2880 rpm. Įtemptosios šakos įtempimas yra 800 N, laisvosios – 400 N. Raskite perduodamą galią P kW.

d₁ = 160 mmn₁ = 2880 rpmT₁ = 800 NT₂ = 400 N

P = kW

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

5,5 kW variklis, besisukantis 960 rpm greičiu, suka krumpliaratį A (16 dantų), kuris sukimba su krumpliaračiu B (40 dantų). Krumpliaratis C (15 dantų), esantis ant to paties veleno kaip B, suka krumpliaratį D (24 dantų) ant išėjimo veleno. Kiekvieno sukibimo naudingumo koeficientas 95%. Raskite išėjimo sukimo momentą T_out.

P = 5,5 kWn_in = 960 rpmA = 16B = 40C = 15D = 24η_mesh = 95%

T_out = N·m

3.Velenų sukimasVidutinis

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 400 N·m sukimo momentą. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,75, o tangentinis įtempis negali viršyti 50 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį d_o.

T = 400 N·md_i/d_o = 0,75τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (aliuminis) perduoda 75 kW esant 500 rpm. Tangentinis įtempis negali viršyti 40 MPa, o santykinis sukimo kampas – 1°/m. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį abi sąlygas.

P = 75 kWN = 500 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 1°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = −30 MPa, σᵧ = 40 MPa ir τₓᵧ = 40 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_p nuo x ašies iki didžiausio pagrindinio įtempio krypties, intervale nuo −90° iki 90°.

σ_x = −30 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_p = °

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 90 MPa, σᵧ = −80 MPa ir τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). Medžiagos takumo riba 420 MPa. Raskite atsargos koeficientą n takumo atžvilgiu pagal Treskos (didžiausio tangentinio įtempio) kriterijų.

σ_x = 90 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

plienas strypas (skersmuo 40 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš bronza (išorinis skersmuo 120 mm, vidinis skersmuo 50 mm, E = 110 GPa). Abu 600 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 100 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 100 kNstrypas: Ø40 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 600 mm

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite didžiausią normalinį įtempį σ_max strype.

P = 55 kN1 ruožas: Ø35 mm, 1 m, varis (E = 117 GPa)2 ruožas: Ø20 mm, 1,5 m, varis (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 10 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 10 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 15 mm poslinkio amplitudės po 2 ciklų seka 7 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

x₀ = 15 mmx₂ = 7 mmn = 2

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

50 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 60 kN/m, apatinės k₂ = 20 kN/m. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 50 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 9,651 kW

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo greitis

v = 24,13 m/s

Galia

P = (800 − 400)·24,13 = 9651 W = 9,651 kW

Atsakymas

P = 9,651 kW

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T_out = 197,5 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Išėjimo sukimosi dažnis

n_out = 960·(16/40)·(15/24) = 240 rpm

ω_out = 2π·240/60 = 25,13 rad/s

Išėjimo galia ir sukimo momentas

P_out = 5500·0,95² = 4964 W

T_out = P_out/ω_out = 4964/25,13 = 197,5 N·m

Atsakymas

T_out = 197,5 N·m

3.Velenų sukimas

Atsakymas: d_o = 39,06 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 400 N·m = 400000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·50·0,6836)) = 39,06 mm

d_i = 0,75·39,06 = 29,3 mm

Atsakymas

d_o = 39,06 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 34,41 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 75,3 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 75000/52,36 = 1432 N·m

Skersmuo pagal stiprumą

T = 1432 N·m = 1,432 × 10⁶ N·mm

d_τ = ∛(16·1,432 × 10⁶/(π·40)) = 56,71 mm

Skersmuo pagal standumą

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·1,432 × 10⁶/(π·26000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 75,3 mm

Lemiamasis skersmuo

Turi būti tenkinamos abi sąlygos, todėl lemia didesnis skersmuo.

d = max(56,71, 75,3) = 75,3 mm

Atsakymas

d = 75,3 mm

Čia lemia standumas.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_p = 65,59 °

Kampas apskritime

Moro apskritime taškas x yra kampu 2θp nuo σ ašies; ketvirtis priklauso nuo σₓ − σᵧ ir τₓᵧ ženklų.

2θ_p = atan2(2·40, −30 − 40) = 131,2°

Kampas elemente

θ_p = 65,59°

Atsakymas

θ_p = 65,59°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: n = 2,454

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Takumo kriterijai: pagal fon Mizesą takumas prasideda, kai σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) pasiekia σ_Y; pagal Treską – kai absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis pasiekia σ_Y/2.

Pagrindiniai įtempiai

C = 5 MPa, R = 85,59 MPa

σ₁ = 90,59 MPa, σ₂ = −80,59 MPa, σ₃ = 0

Treska

σ_max − σ_min = 171,2 MPa

n = 420/171,2 = 2,454

Atsakymas

n = 2,454

n > 1 reiškia, kad taške takumas neprasideda; Treskos kriterijus kiek konservatyvesnis nei fon Mizeso.

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,0469 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·9346 = 1,279 × 10⁹ N

Sutrumpėjimas

δ = 100000·600/1,279 × 10⁹ = 0,0469 mm

Atsakymas

δ = 0,0469 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ_max = 175,1 MPa

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 57,17 MPa

σ₂ = 175,1 MPa

Didžiausias įtempis

Plonesnio ruožo plotas mažesnis, todėl jame įtempis didesnis.

σ_max = 175,1 MPa

Atsakymas

σ_max = 175,1 MPa

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 257 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·1000 = 1000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/1000² = 257021 N = 257 kN

Atsakymas

P_cr = 257 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 23,83 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2·10000 = 20000 N

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·20000·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 23,83 mm

Atsakymas

d = 23,83 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 209,8, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,06054

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritminis slopinimo dekrementas

δ = (1/2)·ln(15/7) = 0,3811

Slopinimo koeficientas

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3811/√(39,48 + 0,1452) = 0,06054

Atsakymas

ζ = 0,06054

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 15 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/60 + 1/20 → k_eq = 60·20/(60 + 20) = 15 kN/m

Atsakymas

k_eq = 15 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design