Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

1,1 kW variklis, besisukantis 1440 rpm greičiu, suka krumpliaratuką su 20 dantų, kurio modulis 4 mm. Raskite tangentinę jėgą F_t, veikiančią krumpliaratuko dantis.

P = 1,1 kWn = 1440 rpmN₁ = 20m = 4 mm

F_t = N

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

1,1 kW variklis, besisukantis 960 rpm greičiu, suka krumpliaratį A (16 dantų), kuris sukimba su krumpliaračiu B (50 dantų). Krumpliaratis C (15 dantų), esantis ant to paties veleno kaip B, suka krumpliaratį D (36 dantų) ant išėjimo veleno. Kiekvieno sukibimo naudingumo koeficientas 96%. Raskite išėjimo sukimo momentą T_out.

P = 1,1 kWn_in = 960 rpmA = 16B = 50C = 15D = 36η_mesh = 96%

T_out = N·m

3.Velenų sukimasVidutinis

Tuščiaviduris velenas (plienas; išorinis skersmuo 50 mm, vidinis skersmuo 30 mm, ilgis 1,2 m) viename gale įtvirtintas, o kitame sukamas 750 N·m sukimo momentu. Raskite sukimo kampą φ laipsniais.

T = 750 N·md_o = 50 mmd_i = 30 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (aliuminis), kurio skersmuo 30 mm, įtvirtintas taške A. Taške B, 0,8 m atstumu nuo A, veikia 500 N·m sukimo momentas, o laisvajame gale C, dar 1,2 m toliau, veikia priešinga kryptimi nukreiptas 100 N·m sukimo momentas. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

d = 30 mmT_B = 500 N·mT_C = 100 N·mAB = 0,8 mBC = 1,2 m

τ_max = MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = −40 MPa, σᵧ = −50 MPa ir τₓᵧ = 10 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_p nuo x ašies iki didžiausio pagrindinio įtempio krypties, intervale nuo −90° iki 90°.

σ_x = −40 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_p = °

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 100 MPa, σᵧ = 60 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 25° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 100 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (varis) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 65 kNd = 16 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 70 kN1 ruožas: Ø30 mm, 2 m, aliuminis (E = 70 GPa)2 ruožas: Ø16 mm, 1 m, žalvaris (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Ji turi atlaikyti 140 kN su 3 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 140 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

100 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 40 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,35. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 100 kgk = 40 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

25 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 30 kN/m, apatinės k₂ = 60 kN/m. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 25 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 60 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: F_t = 182,4 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Krumpliaratuko sukimo momentas

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T = P/ω = 1100/150,8 = 7,295 N·m

Dalijamasis skersmuo

d = m·N = 4·20 = 80 mm

Tangentinė jėga

F_t = 2T/d = 2·7,295/0,08 = 182,4 N

Atsakymas

F_t = 182,4 N

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T_out = 75,63 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Išėjimo sukimosi dažnis

n_out = 960·(16/50)·(15/36) = 128 rpm

ω_out = 2π·128/60 = 13,4 rad/s

Išėjimo galia ir sukimo momentas

P_out = 1100·0,96² = 1014 W

T_out = P_out/ω_out = 1014/13,4 = 75,63 N·m

Atsakymas

T_out = 75,63 N·m

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 1,207 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Sukimo kampas

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 750000·1200/(80000·534071) = 0,02106 rad

φ = 0,02106·180/π = 1,207°

Atsakymas

φ = 1,207°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 75,45 MPa

Vidiniai sukimo momentai

T_C kryptis laikoma teigiama.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C − T_B = 100 − 500 = −400 N·m

Didžiausias tangentinis įtempis

Ruože su didžiausiu vidiniu sukimo momentu įtempis didžiausias (skersmuo tas pats).

|T|_max = 400 N·m

τ_max = 16·400000/(π·30³) = 75,45 MPa

Atsakymas

τ_max = 75,45 MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_p = 31,72 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Kampas apskritime

Moro apskritime taškas x yra kampu 2θp nuo σ ašies; ketvirtis priklauso nuo σₓ − σᵧ ir τₓᵧ ženklų.

2θ_p = atan2(2·10, −40 − −50) = 63,43°

Kampas elemente

θ_p = 31,72°

Atsakymas

θ_p = 31,72°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 115,8 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 80 + 20·0,6428 + 30·0,766 = 115,8 MPa

Atsakymas

σ_θ = 115,8 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 4,145 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 65·1000/201,1 = 323,3 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for varis = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 323,3/117000 = 0,002763 = 2763 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,002763·1500 mm = 4,145 mm

Atsakymas

δ = 4,145 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 6,311 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 99,03 MPa

σ₂ = 348,2 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 99,03·2000/70000 = 2,829 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 348,2·1000/100000 = 3,482 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,311 mm

Atsakymas

δ = 6,311 mm

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 9,638 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·2000 = 4000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/4000² = 9638 N = 9,638 kN

Atsakymas

P_cr = 9,638 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 129,1 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 3·140000 = 420000 N

KL = 2·4000 = 8000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·420000·8000²/(π³·200000))^(1/4) = 129,1 mm

Atsakymas

d = 129,1 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 248, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 2,982 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(40000/100) = 20 rad/s

f_n = 20/(2π) = 3,183 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,183·√(1 − 0,35²) = 2,982 Hz

Atsakymas

f_d = 2,982 Hz

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 20 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/30 + 1/60 → k_eq = 30·60/(30 + 60) = 20 kN/m

Atsakymas

k_eq = 20 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design