Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Diržas juda ant 125 mm varančiojo skriemulio, kuris sukasi 2880 rpm. Įtemptosios šakos įtempimas yra 400 N, laisvosios – 200 N. Raskite perduodamą galią P kW.

d₁ = 125 mmn₁ = 2880 rpmT₁ = 400 NT₂ = 200 N

P = kW

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (50 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 960 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (72 dantų). Krumpliaratis C (16 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (72 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį n_out.

n_in = 960 rpmA = 50B = 72C = 16D = 72

n_out = rpm

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (plienas) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 400 N·md = 30 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas perduoda 10 kW esant 1500 aps./min. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

P = 10 kWN = 1500 rpmd_o = 50 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 110 MPa ir σᵧ = −20 MPa. Kokio didumo gali būti tangentinis įtempis τ_xy, kol didžiausias pagrindinis įtempis pasieks 150 MPa?

σ_x = 110 MPaσ_y = −20 MPaσ₁ = 150 MPa

τ_xy = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 130 MPa, σᵧ = −50 MPa ir τₓᵧ = −60 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 15° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 130 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (plienas) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 20 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 50 kN1 ruožas: Ø30 mm, 2 m, žalvaris (E = 100 GPa)2 ruožas: Ø20 mm, 0,5 m, aliuminis (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 6 mE = 200 GPa (plienas)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 15 mm poslinkio amplitudės po 2 ciklų seka 10,3 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

x₀ = 15 mmx₂ = 10,3 mmn = 2

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

100 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 100 kN/m, apatinės k₂ = 20 kN/m. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 100 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 3,77 kW

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo greitis

v = 18,85 m/s

Galia

P = (400 − 200)·18,85 = 3770 W = 3,77 kW

Atsakymas

P = 3,77 kW

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_out = 148,1 rpm

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Pirmoji pakopa

n_B = 960·50/72 = 666,7 rpm = n_C

Antroji pakopa

n_out = 666,7·16/72 = 148,1 rpm

Atsakymas

n_out = 148,1 rpm

bendras perdavimo skaičius = 6,48 : 1

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 5,404 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1500/(80000·79522) = 0,09431 rad

φ = 0,09431·180/π = 5,404°

Atsakymas

φ = 5,404°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 4,393 MPa

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 10000/157,1 = 63,66 N·m

Polinis inercijos momentas

J = π(50⁴ − 40⁴)/32 = 362265 mm⁴

Didžiausias tangentinis įtempis

τ_max = T·(d_o/2)/J = 63662·25/362265 = 4,393 MPa

Atsakymas

τ_max = 4,393 MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_xy = 82,46 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Reikiamas spindulys

C = (110 + (−20))/2 = 45 MPa

R = σ₁ − C = 150 − 45 = 105 MPa

Tangentinis įtempis

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(105² − 65²) = 82,46 MPa

Atsakymas

τ_xy = 82,46 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 87,94 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 40 + 90·0,866 + −60·0,5 = 87,94 MPa

Atsakymas

σ_θ = 87,94 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 1,91 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 20·1000/78,54 = 254,6 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for plienas = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 254,6/200000 = 0,001273 = 1273 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,001273·1500 mm = 1,91 mm

Atsakymas

δ = 1,91 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 2,552 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 70,74 MPa

σ₂ = 159,2 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 70,74·2000/100000 = 1,415 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 159,2·500/70000 = 1,137 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,552 mm

Atsakymas

δ = 2,552 mm

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 210,6 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·1000 = 2000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/2000² = 210552 N = 210,6 kN

Atsakymas

P_cr = 210,6 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 49,35 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/15 = 200

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Atsakymas

σ_cr = 49,35 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,0299

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritminis slopinimo dekrementas

δ = (1/2)·ln(15/10,3) = 0,188

Slopinimo koeficientas

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,188/√(39,48 + 0,03533) = 0,0299

Atsakymas

ζ = 0,0299

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 2,055 Hz

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/100 + 1/20 → k_eq = 100·20/(100 + 20) = 16,67 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(16667/100) = 12,91 rad/s

f_n = 12,91/(2π) = 2,055 Hz

Atsakymas

f_n = 2,055 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design