Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

1,5 kW variklis, besisukantis 1440 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 36; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 72. Krumpliaračių poros naudingumo koeficientas – 98 %. Raskite išėjimo sukimo momentą T₂ varomojo krumpliaračio velene.

P = 1,5 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 36N₂ = 72η = 98%

T₂ = N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (15 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 3000 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (30 dantų). Krumpliaratis C (32 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (72 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį n_out.

n_in = 3000 rpmA = 15B = 30C = 32D = 72

n_out = rpm

3.Velenų sukimasVidutinis

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 250 N·m sukimo momentą. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,6, o tangentinis įtempis negali viršyti 80 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį d_o.

T = 250 N·md_i/d_o = 0,6τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas turi perduoti 50 kW esant 1000 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 60 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 50 kWN = 1000 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 80 MPa, σᵧ = 40 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = 80 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 20 MPa, σᵧ = 60 MPa ir τₓᵧ = −30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite tangentinį įtempį τ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 50° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies (teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σ_x = 20 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 50°

τ_θ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Strypą sudaro plienas atkarpa (skersmuo 40 mm, ilgis 400 mm, E = 200 GPa), galais sujungta su atkarpa iš varis (skersmuo 30 mm, ilgis 400 mm, E = 120 GPa). Vienas galas įtvirtintas, kitas traukiamas. Raskite ašinę apkrovą P, kuri jį iš viso pailgina 0,25 mm.

1 atkarpa: plienas, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: varis, Ø30 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 25 kN1 ruožas: Ø25 mm, 0,5 m, varis (E = 117 GPa)2 ruožas: Ø16 mm, 1,5 m, žalvaris (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Ji turi atlaikyti 20 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 20 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

5 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 80 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,45. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 5 kgk = 80 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

5 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 40 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 20 kN/m ir k₂ = 5 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 5 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T₂ = 19,5 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/150,8 = 9,947 N·m

Išėjimo sukimo momentas

T₂ = 9,947·72/36·0,98 = 19,5 N·m

Atsakymas

T₂ = 19,5 N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_out = 666,7 rpm

Pirmoji pakopa

n_B = 3000·15/30 = 1500 rpm = n_C

Antroji pakopa

n_out = 1500·32/72 = 666,7 rpm

Atsakymas

n_out = 666,7 rpm

bendras perdavimo skaičius = 4,5 : 1

3.Velenų sukimas

Atsakymas: d_o = 26,35 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 250 N·m = 250000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·80·0,8704)) = 26,35 mm

d_i = 0,6·26,35 = 15,81 mm

Atsakymas

d_o = 26,35 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 25,15 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 34,35 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 50000/104,7 = 477,5 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·477465/(π·60)) = 34,35 mm

Atsakymas

d = 34,35 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 36,06 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((80 − 40)/2)² + 30²) = 36,06 MPa

Atsakymas

τ_max = 36,06 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_θ = 24,91 MPa

Transformacijos lygtis

τ_θ = −−20·0,9848 + −30·−0,1736 = 24,91 MPa

Atsakymas

τ_θ = 24,91 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P = 39,64 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Lankstumai

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·706,9) = 4,716 × 10⁻⁶ mm/N

Apkrova

P = 0,25/6,307 × 10⁻⁶ = 39637 N = 39,64 kN

Atsakymas

P = 39,64 kN

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 2,083 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 50,93 MPa

σ₂ = 124,3 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 50,93·500/117000 = 0,2176 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 124,3·1500/100000 = 1,865 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,083 mm

Atsakymas

δ = 2,083 mm

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 308,4 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·2000 = 2000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·625000/2000² = 308425 N = 308,4 kN

Atsakymas

P_cr = 308,4 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 87,81 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2·20000 = 40000 N

KL = 2·6000 = 12000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·40000·12000²/(π³·200000))^(1/4) = 87,81 mm

Atsakymas

d = 87,81 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 546,7, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 17,98 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(80000/5) = 126,5 rad/s

f_n = 126,5/(2π) = 20,13 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 20,13·√(1 − 0,45²) = 17,98 Hz

Atsakymas

f_d = 17,98 Hz

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 8,828 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 20 + 5 = 25 kN/m

k_eq = 25·40/(25 + 40) = 15,38 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(15385/5) = 55,47 rad/s

f_n = 55,47/(2π) = 8,828 Hz

Atsakymas

f_n = 8,828 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design