Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

200 mm skriemulys sukasi 1440 rpm ir diržu suka 450 mm skriemulį, slydimas 4 %. Raskite varomojo skriemulio sūkių dažnį n₂.

n₁ = 1440 rpmd₁ = 200 mmd₂ = 450 mms = 4 %

n₂ = rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

7,5 kW variklis, besisukantis 2900 rpm greičiu, suka krumpliaratį A (32 dantų), kuris sukimba su krumpliaračiu B (40 dantų). Krumpliaratis C (30 dantų), esantis ant to paties veleno kaip B, suka krumpliaratį D (32 dantų) ant išėjimo veleno. Kiekvieno sukibimo naudingumo koeficientas 97%. Raskite išėjimo sukimo momentą T_out.

P = 7,5 kWn_in = 2900 rpmA = 32B = 40C = 30D = 32η_mesh = 97%

T_out = N·m

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 400 N·md = 40 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (žalvaris), kurio skersmuo 50 mm, įtvirtintas taške A. Taške B, 1,2 m atstumu nuo A, veikia 400 N·m sukimo momentas, o laisvajame gale C, dar 3 m toliau, veikia ta pačia kryptimi nukreiptas 750 N·m sukimo momentas. Raskite galo C sukimo kampo didumą φ_C laipsniais.

d = 50 mmT_B = 400 N·mT_C = 750 N·mAB = 1,2 mBC = 3 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 70 MPa ir σᵧ = 70 MPa. Kokio didumo gali būti tangentinis įtempis τ_xy, kol didžiausias pagrindinis įtempis pasieks 80 MPa?

σ_x = 70 MPaσ_y = 70 MPaσ₁ = 80 MPa

τ_xy = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonasienis cilindrinis rezervuaras, kurio vidinis skersmuo 800 mm, o sienelės storis 15 mm, laiko dujas, kurių manometrinis slėgis 1,5 MPa. Jis pagamintas iš lakšto, suvirinto sraigine siūle, sudarančia 40° kampą su cilindro ašimi. Raskite normalinį įtempį σ_n, veikiantį skersai suvirinimo siūlės.

D = 800 mmt = 15 mmp = 1,5 MPaα = 40°

σ_n = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (žalvaris) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 90 kNd = 10 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite didžiausią normalinį įtempį σ_max strype.

P = 40 kN1 ruožas: Ø35 mm, 0,5 m, plienas (E = 200 GPa)2 ruožas: Ø16 mm, 1,5 m, varis (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Ji turi atlaikyti 30 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 30 kNn = 2,5L = 5 mE = 70 GPa (aliuminis)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

10 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 150 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 370 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 10 kgk = 150 kN/mc = 370 N·s/m

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

5 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 30 kN/m ir k₂ = 50 kN/m. Masė lieka horizontali. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 5 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n₂ = 614,4 rpm

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Sūkių dažnis be slydimo

1440·200/450 = 640 rpm

Su slydimu

n₂ = 640·0,96 = 614,4 rpm

Atsakymas

n₂ = 614,4 rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T_out = 30,98 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Išėjimo sukimosi dažnis

n_out = 2900·(32/40)·(30/32) = 2175 rpm

ω_out = 2π·2175/60 = 227,8 rad/s

Išėjimo galia ir sukimo momentas

P_out = 7500·0,97² = 7057 W

T_out = P_out/ω_out = 7057/227,8 = 30,98 N·m

Atsakymas

T_out = 30,98 N·m

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 1,754 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 400·1000·500/(26000·251327) = 0,03061 rad

φ = 0,03061·180/π = 1,754°

Atsakymas

φ = 1,754°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: φ_C = 8,691 °

Vidiniai sukimo momentai

T_C kryptis laikoma teigiama.

T_BC = T_C = 750 N·m

T_AB = T_C + T_B = 750 + 400 = 1150 N·m

Kiekvieno ruožo sukimo kampas

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 1,15 × 10⁶·1200/(39000·613592) = 0,05767 rad

φ_BC = 750000·3000/(39000·613592) = 0,09402 rad

Galo C sukimo kampas

φ_C = 0,05767 + 0,09402 = 0,1517 rad → |φ_C| = 8,691°

Atsakymas

φ_C = 8,691°

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_xy = 10 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Reikiamas spindulys

C = (70 + 70)/2 = 70 MPa

R = σ₁ − C = 80 − 70 = 10 MPa

Tangentinis įtempis

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(10² − 0²) = 10 MPa

Atsakymas

τ_xy = 10 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_n = 31,74 MPa

Sienelės įtempiai

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 1,5·400/15 = 40 MPa

σ_a = pr/(2t) = 20 MPa

Transformuokite į siūlę

Ašį x imkite išilgai cilindro ašies (σ_a), o y – žiedo kryptimi (σ_h). Siūlės normalė su ašimi sudaro 90° − α kampą.

σ_n = 20·sin²40° + 40·cos²40° = 31,74 MPa

Atsakymas

σ_n = 31,74 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 28,65 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 90·1000/78,54 = 1146 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for žalvaris = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 1146/100000 = 0,01146 = 11459 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,01146·2500 mm = 28,65 mm

Atsakymas

δ = 28,65 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ_max = 198,9 MPa

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 41,58 MPa

σ₂ = 198,9 MPa

Didžiausias įtempis

Plonesnio ruožo plotas mažesnis, todėl jame įtempis didesnis.

σ_max = 198,9 MPa

Atsakymas

σ_max = 198,9 MPa

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 10,24 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·1500 = 1500 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/1500² = 10235 N = 10,24 kN

Atsakymas

P_cr = 10,24 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 72,15 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2,5·30000 = 75000 N

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·3500²/(π³·70000))^(1/4) = 72,15 mm

Atsakymas

d = 72,15 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 194,1, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,1511

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·10) = 2449 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 370/2449 = 0,1511

Atsakymas

ζ = 0,1511

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 20,13 Hz

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k₁ + k₂.

k_eq = 30 + 50 = 80 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(80000/5) = 126,5 rad/s

f_n = 126,5/(2π) = 20,13 Hz

Atsakymas

f_n = 20,13 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design