Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

120 mm skriemulys sukasi 2880 rpm ir diržu suka 315 mm skriemulį, slydimas 1 %. Raskite varomojo skriemulio sūkių dažnį n₂.

n₁ = 2880 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 315 mms = 1 %

n₂ = rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (12 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 2900 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (32 dantų). Krumpliaratis C (30 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (40 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį n_out.

n_in = 2900 rpmA = 12B = 32C = 30D = 40

n_out = rpm

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnavidurį 3 m ilgio veleną (žalvaris) veikia 500 N·m sukimo momentas. Sukimo kampas tarp jo galų negali viršyti 2°. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį šią sąlygą.

T = 500 N·mL = 3 mG = 39 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (aliuminis) perduoda 5 kW esant 300 rpm. Tangentinis įtempis negali viršyti 40 MPa, o santykinis sukimo kampas – 0,5°/m. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį abi sąlygas.

P = 5 kWN = 300 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 40 MPa, σᵧ = −60 MPa ir τₓᵧ = 60 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_s tarp −90° ir 90° nuo x ašies iki plokštumos, kurioje tangentinis įtempis pasiekia didžiausią teigiamą vertę +R, normalės (tangentinis įtempis teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σ_x = 40 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_s = °

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 40 MPa, σᵧ = −50 MPa ir τₓᵧ = −20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 45° pagal laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 40 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −20 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

plienas strypas (skersmuo 40 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš aliuminis (išorinis skersmuo 120 mm, vidinis skersmuo 70 mm, E = 70 GPa). Abu 800 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 150 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 150 kNstrypas: Ø40 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPaL = 800 mm

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 30 mm, ilgis 400 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš bronza (skersmuo 50 mm, ilgis 400 mm, E = 110 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 80 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: bronza, Ø50 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

2 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 8 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,5. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 2 kgk = 8 kN/mζ = 0,5

f_d = Hz

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

20 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 5 kN/m ir k₂ = 15 kN/m. Masė lieka horizontali. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 20 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n₂ = 1086 rpm

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Sūkių dažnis be slydimo

2880·120/315 = 1097 rpm

Su slydimu

n₂ = 1097·0,99 = 1086 rpm

Atsakymas

n₂ = 1086 rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_out = 815,6 rpm

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Pirmoji pakopa

n_B = 2900·12/32 = 1088 rpm = n_C

Antroji pakopa

n_out = 1088·30/40 = 815,6 rpm

Atsakymas

n_out = 815,6 rpm

bendras perdavimo skaičius = 3,556 : 1

3.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 57,88 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Reikiamas polinis inercijos momentas

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 2·π/180 = 0,03491 rad

J = TL/(Gφ) = 500000·3000/(39000·0,03491) = 1,102 × 10⁶ mm⁴

Skersmuo

d = (32J/π)^1/4 = 57,88 mm

Atsakymas

d = 57,88 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 51,7 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 5000/31,42 = 159,2 N·m

Skersmuo pagal stiprumą

T = 159,2 N·m = 159155 N·mm

d_τ = ∛(16·159155/(π·40)) = 27,26 mm

Skersmuo pagal standumą

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·159155/(π·26000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 51,7 mm

Lemiamasis skersmuo

Turi būti tenkinamos abi sąlygos, todėl lemia didesnis skersmuo.

d = max(27,26, 51,7) = 51,7 mm

Atsakymas

d = 51,7 mm

Čia lemia standumas.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_s = −19,9 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Kampas apskritime

Moro apskritime viršutinis taškas (+R) nuo pagrindinio taško σ₁ nutolęs 90°; elemente tai atitinka 45°.

cos 2θ_s = 60/78,1 = 0,7682, sin 2θ_s = −50/78,1 = −0,6402

2θ_s = atan2(−50, 60) = −39,81°

Kampas elemente

θ_s = −19,9°

patikra: θ_s − θ_p = −19,9 − 25,1 = −45°

Atsakymas

θ_s = −19,9°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 15 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = −5 + 45·0 + −20·−1 = 15 MPa

Atsakymas

σ_θ = 15 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,1551 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·7461 = 7,736 × 10⁸ N

Sutrumpėjimas

δ = 150000·800/7,736 × 10⁸ = 0,1551 mm

Atsakymas

δ = 0,1551 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 24,63 MPa

Standumai

k₁ = 200000·706,9/400 = 353429 N/mm

k₂ = 110000·1963/400 = 539961 N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 80000·539961/893390 = 48352 N

Įtempis

σ₂ = 48352/1963 = 24,63 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 24,63 MPa

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 4,406 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/3500² = 4406 N = 4,406 kN

Atsakymas

P_cr = 4,406 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 17,27 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/20 = 200

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Atsakymas

σ_cr = 17,27 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 8,717 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(8000/2) = 63,25 rad/s

f_n = 63,25/(2π) = 10,07 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 10,07·√(1 − 0,5²) = 8,717 Hz

Atsakymas

f_d = 8,717 Hz

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 5,033 Hz

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k₁ + k₂.

k_eq = 5 + 15 = 20 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(20000/20) = 31,62 rad/s

f_n = 31,62/(2π) = 5,033 Hz

Atsakymas

f_n = 5,033 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design