Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

2,2 kW variklis, besisukantis 2900 rpm greičiu, suka krumpliaratuką su 25 dantų, kurio modulis 4 mm. Raskite tangentinę jėgą F_t, veikiančią krumpliaratuko dantis.

P = 2,2 kWn = 2900 rpmN₁ = 25m = 4 mm

F_t = N

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Sudėtinėje krumpliaračių pavaroje krumpliaratis A (15 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 2880 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (80 dantų). Krumpliaratis C (15 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D ant išėjimo veleno. Išėjimo velenas turi suktis 180 rpm greičiu. Kiek dantų N_D turi turėti krumpliaratis D?

n_in = 2880 rpmA = 15B = 80C = 15n_out = 180 rpm

N_D =

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (žalvaris) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 100 N·md = 30 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas perduoda 20 kW esant 1500 aps./min. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

P = 20 kWN = 1500 rpmd_o = 50 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 150 MPa, σᵧ = 100 MPa ir τₓᵧ = 20 MPa, σ_z = 0. Raskite absoliutųjį didžiausią tangentinį įtempį τ_abs taške (atsižvelgiant į visas plokštumas trijuose matmenyse).

σ_x = 150 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = −10 MPa, σᵧ = 50 MPa ir τₓᵧ = 40 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 50° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = −10 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

plienas strypas (skersmuo 25 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš bronza (išorinis skersmuo 100 mm, vidinis skersmuo 70 mm, E = 110 GPa). Abu 800 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 300 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 300 kNstrypas: Ø25 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 800 mm

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 90 kN1 ruožas: Ø40 mm, 1,5 m, aliuminis (E = 70 GPa)2 ruožas: Ø20 mm, 1 m, žalvaris (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Ji turi atlaikyti 105 kN su 3 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 105 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (aliuminis)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

40 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 20 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,3. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 40 kgk = 20 kN/mζ = 0,3

f_d = Hz

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

50 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 5 kN/m ir k₂ = 10 kN/m. Masė lieka horizontali. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 50 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: F_t = 144,9 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Krumpliaratuko sukimo momentas

ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T = P/ω = 2200/303,7 = 7,244 N·m

Dalijamasis skersmuo

d = m·N = 4·25 = 100 mm

Tangentinė jėga

F_t = 2T/d = 2·7,244/0,1 = 144,9 N

Atsakymas

F_t = 144,9 N

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: N_D = 45

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Tarpinio veleno greitis

n_B = n_C = 2880·15/80 = 540 rpm

Krumpliaračio D dantys

N_D = C·n_C/n_out = 15·540/180 = 45

Atsakymas

N_D = 45

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 2,217 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1200/(39000·79522) = 0,03869 rad

φ = 0,03869·180/π = 2,217°

Atsakymas

φ = 2,217°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 5,96 MPa

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 20000/157,1 = 127,3 N·m

Polinis inercijos momentas

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Didžiausias tangentinis įtempis

τ_max = T·(d_o/2)/J = 127324·25/534071 = 5,96 MPa

Atsakymas

τ_max = 5,96 MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_abs = 78,51 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Trijuose matmenyse absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis yra (σ_max − σ_min)/2 tarp visų trijų pagrindinių įtempių; plokščiajame įtempių būvyje trečiasis lygus nuliui.

Pagrindiniai įtempiai plokštumoje

C = 125 MPa, R = √(25² + 20²) = 32,02 MPa

σ₁ = 157 MPa, σ₂ = 92,98 MPa, σ_z = 0

Didžiausias iš trijų apskritimų

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(64,03, 157, 92,98)/2 = 78,51 MPa

Atsakymas

τ_abs = 78,51 MPa

Čia lemia apskritimas už plokštumos ribų: absoliutusis maksimumas didesnis už maksimumą plokštumoje R.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 64,6 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 20 + −30·−0,1736 + 40·0,9848 = 64,6 MPa

Atsakymas

σ_θ = 64,6 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,4454 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·4006 = 5,388 × 10⁸ N

Sutrumpėjimas

δ = 300000·800/5,388 × 10⁸ = 0,4454 mm

Atsakymas

δ = 0,4454 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 4,399 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 71,62 MPa

σ₂ = 286,5 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 71,62·1500/70000 = 1,535 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 286,5·1000/100000 = 2,865 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,399 mm

Atsakymas

δ = 4,399 mm

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 32,64 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/1050² = 32638 N = 32,64 kN

Atsakymas

P_cr = 32,64 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 113,1 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 3·105000 = 315000 N

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·315000·4200²/(π³·70000))^(1/4) = 113,1 mm

Atsakymas

d = 113,1 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 148,5, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 3,395 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(20000/40) = 22,36 rad/s

f_n = 22,36/(2π) = 3,559 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,559·√(1 − 0,3²) = 3,395 Hz

Atsakymas

f_d = 3,395 Hz

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 2,757 Hz

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k₁ + k₂.

k_eq = 5 + 10 = 15 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(15000/50) = 17,32 rad/s

f_n = 17,32/(2π) = 2,757 Hz

Atsakymas

f_n = 2,757 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design