Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

80 mm skriemulys sukasi 2880 rpm ir diržu suka 450 mm skriemulį, slydimas 1,5 %. Raskite varomojo skriemulio sūkių dažnį n₂.

n₁ = 2880 rpmd₁ = 80 mmd₂ = 450 mms = 1,5 %

n₂ = rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Sudėtinėje krumpliaračių pavaroje krumpliaratis A (25 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 960 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (40 dantų). Krumpliaratis C (12 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D ant išėjimo veleno. Išėjimo velenas turi suktis 144 rpm greičiu. Kiek dantų N_D turi turėti krumpliaratis D?

n_in = 960 rpmA = 25B = 40C = 12n_out = 144 rpm

N_D =

3.Velenų sukimasVidutinis

Pakopinis pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas taške A. Ruožo AB skersmuo 50 mm, ilgis 0,5 m; ruožo BC skersmuo 40 mm, ilgis 3 m. Laisvajame gale C veikia 250 N·m sukimo momentas. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

T = 250 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 40 mm, L₂ = 3 m

τ_max = MPa

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (plienas), kurio skersmuo 30 mm, abiem galais A ir B įtvirtintas standžiose sienose. Taške C, 2 m atstumu nuo A ir 1,2 m atstumu nuo B, pridėtas 2000 N·m sukimo momentas. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

d = 30 mmT₀ = 2000 N·ma = 2 mb = 1,2 m

τ_max = MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = −40 MPa, σᵧ = 0 MPa ir τₓᵧ = −30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = −40 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −30 MPa

τ_max = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 130 MPa, σᵧ = −30 MPa ir τₓᵧ = −50 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 45° pagal laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 130 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −50 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

plienas strypas (skersmuo 40 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš žalvaris (išorinis skersmuo 120 mm, vidinis skersmuo 70 mm, E = 100 GPa). Abu 300 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 50 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 50 kNstrypas: Ø40 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas strypas (skersmuo 30 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 250 MPa) yra viduje vamzdžio iš žalvaris (išorinis skersmuo 80 mm, vidinis skersmuo 50 mm, E = 100 GPa, leistinasis įtempis 80 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą P_max.

strypas: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPavamzdis: Ø80/Ø50 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Ji turi atlaikyti 120 kN su 3 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 120 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

25 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 50 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 1120 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 25 kgk = 50 kN/mc = 1120 N·s/m

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

25 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 60 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 20 kN/m ir k₂ = 15 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 25 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 15 kN/mk₃ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n₂ = 504,3 rpm

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Sūkių dažnis be slydimo

2880·80/450 = 512 rpm

Su slydimu

n₂ = 512·0,985 = 504,3 rpm

Atsakymas

n₂ = 504,3 rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: N_D = 50

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Tarpinio veleno greitis

n_B = n_C = 960·25/40 = 600 rpm

Krumpliaračio D dantys

N_D = C·n_C/n_out = 12·600/144 = 50

Atsakymas

N_D = 50

3.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 19,89 MPa

Įtempis kiekviename ruože

T = 250 N·m = 250000 N·mm

τ_AB = 16·250000/(π·50³) = 10,19 MPa

τ_BC = 16·250000/(π·40³) = 19,89 MPa

Atsakymas

τ_max = 19,89 MPa

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 235,8 MPa

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω. Kai abu galai įtvirtinti, vien statika duoda tik T_A + T_B = T₀; antroji lygtis yra suderinamumas (abiejų dalių vienodas sukimo kampas apkrautame skerspjūvyje).

Pusiausvyra ir suderinamumas

T_A + T_B = 2000

T_A·a = T_B·b

T_A = 2000·1,2/3,2 = 750 N·m

T_B = 2000·2/3,2 = 1250 N·m

Didžiausias tangentinis įtempis

Lemia didesnysis iš dviejų sukimo momentų (skersmuo tas pats).

τ_max = 16·1,25 × 10⁶/(π·30³) = 235,8 MPa

Atsakymas

τ_max = 235,8 MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 36,06 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((−40 − 0)/2)² + −30²) = 36,06 MPa

Atsakymas

τ_max = 36,06 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 100 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 50 + 80·0 + −50·−1 = 100 MPa

Atsakymas

σ_θ = 100 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,01504 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·7461 = 9,975 × 10⁸ N

Sutrumpėjimas

δ = 50000·300/9,975 × 10⁸ = 0,01504 mm

Atsakymas

δ = 0,01504 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P_max = 358,1 kN

Plotai

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·3063 = 4,477 × 10⁸ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,00125, 0,0008) = 0,0008 (žalvaris)

Didžiausia apkrova

P_max = 0,0008·4,477 × 10⁸ = 358142 N = 358,1 kN

Atsakymas

P_max = 358,1 kN

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 7,369 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·2500 = 5000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/5000² = 7369 N = 7,369 kN

Atsakymas

P_cr = 7,369 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 107,5 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 3·120000 = 360000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·360000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 107,5 mm

Atsakymas

d = 107,5 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 223,2, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,5009

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·25) = 2236 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 1120/2236 = 0,5009

Atsakymas

ζ = 0,5009

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 4,733 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 20 + 15 = 35 kN/m

k_eq = 35·60/(35 + 60) = 22,11 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(22105/25) = 29,74 rad/s

f_n = 29,74/(2π) = 4,733 Hz

Atsakymas

f_n = 4,733 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design