Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai
n1·N1 = n2·N2
Sukimo momentas
T2 = T1·(N2/N1)·η
Galia
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara
bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis
τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas
J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas
φ = TL/(GJ)
Galia
P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

  1. Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
  2. Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
  3. Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
  4. Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras
C = (σx + σy)/2
Spindulys
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Pagrindiniai įtempiai
σ1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Pasvirasis pjūvis
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metodas

  1. Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
  2. Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
  4. Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis
σ = F/A
Deformacija
ε = ΔL/L
Huko dėsnis
σ = E·ε
Pailgėjimas
ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija
εT = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Iš statinio įlinkio
ωn = √(g/δst)
Kritinis slopinimas
cc = 2√(km) = 2mωn
Slopinimo koeficientas
ζ = c/cc
Slopinamųjų virpesių dažnis
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės
k = k1 + k2
Nuosekliai sujungtos spyruoklės
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis
d1​ = 100 mmd2​ = 315 mm1450 rpmT1​ = 400 NT2​ = 200 NP = ?

Diržas juda ant 100 mm varančiojo skriemulio, kuris sukasi 1450 rpm. Įtemptosios šakos įtempimas yra 400 N, laisvosios – 200 N. Raskite perduodamą galią P kW.

d1 = 100 mmn1 = 1450 rpmT1 = 400 NT2 = 200 N
P = kW
2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus
A = 25B = 45C = 16D = 60

11 kW variklis, besisukantis 1450 rpm greičiu, suka krumpliaratį A (25 dantų), kuris sukimba su krumpliaračiu B (45 dantų). Krumpliaratis C (16 dantų), esantis ant to paties veleno kaip B, suka krumpliaratį D (60 dantų) ant išėjimo veleno. Kiekvieno sukibimo naudingumo koeficientas 96%. Raskite išėjimo sukimo momentą Tout.

P = 11 kWnin = 1450 rpmA = 25B = 45C = 16D = 60ηmesh = 96%
Tout = N·m
3.Velenų sukimasVidutinis
do​ = ?T = 400 N·m

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 400 N·m sukimo momentą. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,75, o tangentinis įtempis negali viršyti 40 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį do.

T = 400 N·mdi/do = 0,75τallow = 40 MPa
do = mm
4.Velenų sukimasSunkus
Tdo​ = 60 mm, di​ = 36 mm

Tuščiaviduris velenas perduoda 20 kW esant 1500 aps./min. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τmax velene.

P = 20 kWN = 1500 rpmdo = 60 mmdi = 36 mm
τmax = MPa
5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis
σx​ = −70σy​ = −60τxy​ = −40MPa

Taške σₓ = −70 MPa, σᵧ = −60 MPa ir τₓᵧ = −40 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θs tarp −90° ir 90° nuo x ašies iki plokštumos, kurioje tangentinis įtempis pasiekia didžiausią teigiamą vertę +R, normalės (tangentinis įtempis teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σx = −70 MPaσy = −60 MPaτxy = −40 MPa
θs = °
6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus
σx​ = 20σy​ = −10τxy​ = −50MPa

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 20 MPa, σᵧ = −10 MPa ir τₓᵧ = −50 MPa (σz = 0). Medžiagos takumo riba 300 MPa. Raskite atsargos koeficientą n takumo atžvilgiu pagal fon Mizeso (formos keitimo energijos) kriterijų.

σx = 20 MPaσy = −10 MPaτxy = −50 MPaσY = 300 MPa
n =
7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis
100 kNØ30100 GPaØ100/70600 mmδ = ?

plienas strypas (skersmuo 30 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš žalvaris (išorinis skersmuo 100 mm, vidinis skersmuo 70 mm, E = 100 GPa). Abu 600 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 100 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 100 kNstrypas: Ø30 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 600 mm
δ = mm
8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus
50 kN12300 mm200 mmØ20Ø60σ2​ = ?

plienas atkarpa (skersmuo 20 mm, ilgis 300 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš aliuminis (skersmuo 60 mm, ilgis 200 mm, E = 70 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 50 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ2.

1 atkarpa: plienas, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: aliuminis, Ø60 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 50 kN
σ2 = MPa
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 5 m30 × 100 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 5 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
PL = 4 md = 60 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σcr pagal Oilerio formulę.

L = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 60 mm
σcr = MPa
11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis
k = 80 kN/mζ = 0,6m = 25 kg

25 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 80 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,6. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį fd Hz.

m = 25 kgk = 80 kN/mζ = 0,6
fd = Hz
12.Mechaniniai virpesiaiSunkus
k1​ = 30k2​ = 80k3​ = 30m = 40 kg

40 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 30 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 30 kN/m ir k₂ = 80 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį fn Hz.

m = 40 kgk1 = 30 kN/mk2 = 80 kN/mk3 = 30 kN/m
fn = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 1,518 kW

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = eμθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo greitis

v = 7,592 m/s

Galia

P = (400 − 200)·7,592 = 1518 W = 1,518 kW

Atsakymas

P = 1,518 kW
2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: Tout = 450,7 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Išėjimo sukimosi dažnis

nout = 1450·(25/45)·(16/60) = 214,8 rpm
ωout = 2π·214,8/60 = 22,5 rad/s

Išėjimo galia ir sukimo momentas

Pout = 11000·0,96² = 10138 W
Tout = Pout/ωout = 10138/22,5 = 450,7 N·m

Atsakymas

Tout = 450,7 N·m
3.Velenų sukimas

Atsakymas: do = 42,08 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 400 N·m = 400000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·40·0,6836)) = 42,08 mm
di = 0,75·42,08 = 31,56 mm

Atsakymas

do = 42,08 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 37,07 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τmax = 3,449 MPa

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 20000/157,1 = 127,3 N·m

Polinis inercijos momentas

J = π(60⁴ − 36⁴)/32 = 1,107 × 10⁶ mm⁴

Didžiausias tangentinis įtempis

τmax = T·(do/2)/J = 127324·30/1,107 × 10⁶ = 3,449 MPa

Atsakymas

τmax = 3,449 MPa
5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θs = 86,44 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

στxyCτmax​

Kampas apskritime

Moro apskritime viršutinis taškas (+R) nuo pagrindinio taško σ₁ nutolęs 90°; elemente tai atitinka 45°.

cos 2θs = −40/40,31 = −0,9923, sin 2θs = −(−5)/40,31 = 0,124
2θs = atan2(5, −40) = 172,9°

Kampas elemente

θs = 86,44°
patikra: θs − θp = 86,44 − (−48,56) = 135°

Atsakymas

θs = 86,44°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: n = 3,313

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Takumo kriterijai: pagal fon Mizesą takumas prasideda, kai σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) pasiekia σY; pagal Treską – kai absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis pasiekia σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Pagrindiniai įtempiai

C = 5 MPa, R = 52,2 MPa
σ1 = 57,2 MPa, σ2 = −47,2 MPa, σ3 = 0

Fon Mizesas

σvM = √(57,2² − 57,2·(−47,2) + (−47,2)²) = 90,55 MPa
n = 300/90,55 = 3,313

Atsakymas

n = 3,313

n > 1 reiškia, kad taške takumas neprasideda; Treskos kriterijus kiek konservatyvesnis nei fon Mizeso.

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,1107 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, Pi = P·EiAi/ΣEA, o σi = Ei·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·4006 = 5,419 × 10⁸ N

Sutrumpėjimas

δ = 100000·600/5,419 × 10⁸ = 0,1107 mm

Atsakymas

δ = 0,1107 mm
8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ2 = 14,59 MPa

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, Pi = P·EiAi/ΣEA, o σi = Ei·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Standumai

k₁ = 200000·314,2/300 = 209440 N/mm
k₂ = 70000·2827/200 = 989602 N/mm

2 atkarpos dalis

F2 = 50000·989602/1,199 × 10⁶ = 41266 N

Įtempis

σ2 = 41266/2827 = 14,59 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ2 = 14,59 MPa
9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 4,441 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·5000 = 10000 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/10000² = 4441 N = 4,441 kN

Atsakymas

Pcr = 4,441 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σcr = 2,429 MPa

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·4000 = 8000 mm
KL/r = 8000/15 = 533,3

Kritinis įtempis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/533,3² = 2,429 MPa

Atsakymas

σcr = 2,429 MPa
11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: fd = 7,203 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ωn = √(80000/25) = 56,57 rad/s
fn = 56,57/(2π) = 9,003 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

fd = fn·√(1 − ζ²) = 9,003·√(1 − 0,6²) = 7,203 Hz

Atsakymas

fd = 7,203 Hz
12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: fn = 3,864 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k1 ir k2. Ši pora nuosekliai sujungta su k3, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k12 = 30 + 80 = 110 kN/m
keq = 110·30/(110 + 30) = 23,57 kN/m

Savasis dažnis

ωn = √(23571/40) = 24,28 rad/s
fn = 24,28/(2π) = 3,864 Hz

Atsakymas

fn = 3,864 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design