Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

3 kW variklis, besisukantis 1440 rpm greičiu, suka slieką (pradų skaičius 3). Sliekratis turi 60 dantų, o pavaros naudingumo koeficientas 75%. Raskite išėjimo sukimo momentą T_w ant sliekračio veleno.

z = 3N_w = 60n = 1440 rpmP = 3 kWη = 75%

T_w = N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 125 mm varantįjį skriemulį, sukamą 960 rpm, su 250 mm skriemuliu; ašys nutolusios 800 mm. Trinties koeficientas yra 0,35, o įtemptosios šakos įtempimas neturi viršyti 2000 N. Raskite didžiausią galią P, kurią diržas gali perduoti neslysdamas, kW (išcentrinių jėgų neįskaitykite).

d₁ = 125 mmn₁ = 960 rpmd₂ = 250 mmC = 800 mmμ = 0,35T₁ = 2000 N

P = kW

3.Velenų sukimasVidutinis

Sukimo bandyme pilnaviduris bandinys, kurio skersmuo 20 mm, sukamas 40 N·m sukimo momentu. Abu 250 mm matavimo bazės galai vienas kito atžvilgiu pasisuka 1,4° (medžiaga dar tampri). Raskite medžiagos šlyties modulį G.

T = 40 N·md = 20 mmL = 250 mmφ = 1,4°

G = GPa

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas perduoda 75 kW esant 750 aps./min. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

P = 75 kWN = 750 rpmd_o = 75 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = −30 MPa, σᵧ = −50 MPa ir τₓᵧ = 60 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = −30 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 60 MPa

τ_max = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 0 MPa, σᵧ = 50 MPa ir τₓᵧ = −20 MPa (σ_z = 0). Medžiagos takumo riba 420 MPa. Raskite atsargos koeficientą n takumo atžvilgiu pagal fon Mizeso (formos keitimo energijos) kriterijų.

σ_x = 0 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −20 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (aliuminis) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 115 kNd = 25 mmL = 2 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 110 kN1 ruožas: Ø35 mm, 0,5 m, aliuminis (E = 70 GPa)2 ruožas: Ø16 mm, 1,5 m, varis (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 35 kN su 3 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 35 kNn = 3L = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

12 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 200 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,6. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 12 kgk = 200 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

10 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 30 kN/m, apatinės k₂ = 15 kN/m. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 10 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 15 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T_w = 298,4 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Sliekračio greitis

n_w = n·z/N_w = 1440·3/60 = 72 rpm

Išėjimo sukimo momentas

ω_w = 2π·72/60 = 7,54 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,75·3000/7,54 = 298,4 N·m

Atsakymas

T_w = 298,4 N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 8,146 kW

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Apkabos kampas

θ = 2,985 rad

Laisvosios šakos įtempimas

e^μθ = e^1,045 = 2,843, T₂ = 2000/2,843 = 703,5 N

Galia

P = (2000 − 703,5)·6,283 = 8,146 kW

Atsakymas

P = 8,146 kW

3.Velenų sukimas

Atsakymas: G = 26,05 GPa

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas ir kampas

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 1,4·π/180 = 0,02443 rad

Šlyties modulis

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·250/(15708·0,02443) = 26054 MPa

G = 26,05 GPa

Atsakymas

G = 26,05 GPa

Palyginimui: plienas ≈ 80 GPa, žalvaris ≈ 39 GPa, aliuminis ≈ 26 GPa.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 12,34 MPa

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 75000/78,54 = 954,9 N·m

Polinis inercijos momentas

J = π(75⁴ − 38⁴)/32 = 2,902 × 10⁶ mm⁴

Didžiausias tangentinis įtempis

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·37,5/2,902 × 10⁶ = 12,34 MPa

Atsakymas

τ_max = 12,34 MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 60,83 MPa

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((−30 − −50)/2)² + 60²) = 60,83 MPa

Atsakymas

τ_max = 60,83 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: n = 6,905

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Takumo kriterijai: pagal fon Mizesą takumas prasideda, kai σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) pasiekia σ_Y; pagal Treską – kai absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis pasiekia σ_Y/2.

Pagrindiniai įtempiai

C = 25 MPa, R = 32,02 MPa

σ₁ = 57,02 MPa, σ₂ = −7,016 MPa, σ₃ = 0

Fon Mizesas

σ_vM = √(57,02² − 57,02·(−7,016) + (−7,016)²) = 60,83 MPa

n = 420/60,83 = 6,905

Atsakymas

n = 6,905

n > 1 reiškia, kad taške takumas neprasideda; Treskos kriterijus kiek konservatyvesnis nei fon Mizeso.

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 6,694 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 115·1000/490,9 = 234,3 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for aliuminis = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 234,3/70000 = 0,003347 = 3347 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,003347·2000 mm = 6,694 mm

Atsakymas

δ = 6,694 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 7,831 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 114,3 MPa

σ₂ = 547,1 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 114,3·500/70000 = 0,8167 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 547,1·1500/117000 = 7,014 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 7,831 mm

Atsakymas

δ = 7,831 mm

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 52,64 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·1000 = 1000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/1000² = 52638 N = 52,64 kN

Atsakymas

P_cr = 52,64 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 66,32 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 3·35000 = 105000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·105000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 66,32 mm

Atsakymas

d = 66,32 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 150,8, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 16,44 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(200000/12) = 129,1 rad/s

f_n = 129,1/(2π) = 20,55 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 20,55·√(1 − 0,6²) = 16,44 Hz

Atsakymas

f_d = 16,44 Hz

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 10 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/30 + 1/15 → k_eq = 30·15/(30 + 15) = 10 kN/m

Atsakymas

k_eq = 10 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design