Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

0,75 kW variklis, besisukantis 960 rpm greičiu, suka slieką (pradų skaičius 4). Sliekratis turi 36 dantų, o pavaros naudingumo koeficientas 50%. Raskite išėjimo sukimo momentą T_w ant sliekračio veleno.

z = 4N_w = 36n = 960 rpmP = 0,75 kWη = 50%

T_w = N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

11 kW variklis, besisukantis 2900 rpm greičiu, suka krumpliaratį A (32 dantų), kuris sukimba su krumpliaračiu B (48 dantų). Krumpliaratis C (45 dantų), esantis ant to paties veleno kaip B, suka krumpliaratį D (80 dantų) ant išėjimo veleno. Kiekvieno sukibimo naudingumo koeficientas 96%. Raskite išėjimo sukimo momentą T_out.

P = 11 kWn_in = 2900 rpmA = 32B = 48C = 45D = 80η_mesh = 96%

T_out = N·m

3.Velenų sukimasVidutinis

Sukimo bandyme pilnaviduris bandinys, kurio skersmuo 10 mm, sukamas 20 N·m sukimo momentu. Abu 250 mm matavimo bazės galai vienas kito atžvilgiu pasisuka 7,48° (medžiaga dar tampri). Raskite medžiagos šlyties modulį G.

T = 20 N·md = 10 mmL = 250 mmφ = 7,48°

G = GPa

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas turi perduoti 5 kW esant 3000 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 50 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 5 kWN = 3000 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 80 MPa ir σᵧ = 30 MPa. Kokio didumo gali būti tangentinis įtempis τ_xy, kol didžiausias pagrindinis įtempis pasieks 110 MPa?

σ_x = 80 MPaσ_y = 30 MPaσ₁ = 110 MPa

τ_xy = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 120 MPa, σᵧ = −10 MPa ir τₓᵧ = 10 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 50° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 120 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (plienas) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 40 kNd = 20 mmL = 2 mE = 200 GPa

ε = µε

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas strypas (skersmuo 20 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 200 MPa) yra viduje vamzdžio iš žalvaris (išorinis skersmuo 120 mm, vidinis skersmuo 50 mm, E = 100 GPa, leistinasis įtempis 60 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą P_max.

strypas: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPavamzdis: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 80 kN su 3 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 80 kNn = 3L = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

20 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 50 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,5. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 20 kgk = 50 kN/mζ = 0,5

f_d = Hz

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

5 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 12 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 30 kN/m ir k₂ = 12 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 5 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 12 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T_w = 33,57 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Sliekračio greitis

n_w = n·z/N_w = 960·4/36 = 106,7 rpm

Išėjimo sukimo momentas

ω_w = 2π·106,7/60 = 11,17 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,5·750/11,17 = 33,57 N·m

Atsakymas

T_w = 33,57 N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T_out = 89,02 N·m

Išėjimo sukimosi dažnis

n_out = 2900·(32/48)·(45/80) = 1088 rpm

ω_out = 2π·1088/60 = 113,9 rad/s

Išėjimo galia ir sukimo momentas

P_out = 11000·0,96² = 10138 W

T_out = P_out/ω_out = 10138/113,9 = 89,02 N·m

Atsakymas

T_out = 89,02 N·m

3.Velenų sukimas

Atsakymas: G = 39,01 GPa

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas ir kampas

J = π·10⁴/32 = 981,7 mm⁴

φ = 7,48·π/180 = 0,1306 rad

Šlyties modulis

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·250/(981,7·0,1306) = 39011 MPa

G = 39,01 GPa

Atsakymas

G = 39,01 GPa

Palyginimui: plienas ≈ 80 GPa, žalvaris ≈ 39 GPa, aliuminis ≈ 26 GPa.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 11,75 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 5000/314,2 = 15,92 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·15915/(π·50)) = 11,75 mm

Atsakymas

d = 11,75 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_xy = 48,99 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Reikiamas spindulys

C = (80 + 30)/2 = 55 MPa

R = σ₁ − C = 110 − 55 = 55 MPa

Tangentinis įtempis

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(55² − 25²) = 48,99 MPa

Atsakymas

τ_xy = 48,99 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 53,56 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 55 + 65·−0,1736 + 10·0,9848 = 53,56 MPa

Atsakymas

σ_θ = 53,56 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 636,6 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 40·1000/314,2 = 127,3 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for plienas = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 127,3/200000 = 0,0006366 = 636,6 µε

Atsakymas

ε = 636,6 µε

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P_max = 598,5 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·9346 = 9,975 × 10⁸ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,001, 0,0006) = 0,0006 (žalvaris)

Didžiausia apkrova

P_max = 0,0006·9,975 × 10⁸ = 598473 N = 598,5 kN

Atsakymas

P_max = 598,5 kN

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 15,99 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·1500 = 1500 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/1500² = 15992 N = 15,99 kN

Atsakymas

P_cr = 15,99 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 72,94 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 3·80000 = 240000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 72,94 mm

Atsakymas

d = 72,94 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 109,7, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 6,892 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(50000/20) = 50 rad/s

f_n = 50/(2π) = 7,958 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7,958·√(1 − 0,5²) = 6,892 Hz

Atsakymas

f_d = 6,892 Hz

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 6,876 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 30 + 12 = 42 kN/m

k_eq = 42·12/(42 + 12) = 9,333 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(9333/5) = 43,2 rad/s

f_n = 43,2/(2π) = 6,876 Hz

Atsakymas

f_n = 6,876 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design