Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai
n1·N1 = n2·N2
Sukimo momentas
T2 = T1·(N2/N1)·η
Galia
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara
bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis
τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas
J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas
φ = TL/(GJ)
Galia
P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

  1. Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
  2. Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
  3. Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
  4. Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras
C = (σx + σy)/2
Spindulys
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Pagrindiniai įtempiai
σ1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Pasvirasis pjūvis
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metodas

  1. Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
  2. Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
  4. Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis
σ = F/A
Deformacija
ε = ΔL/L
Huko dėsnis
σ = E·ε
Pailgėjimas
ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija
εT = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Iš statinio įlinkio
ωn = √(g/δst)
Kritinis slopinimas
cc = 2√(km) = 2mωn
Slopinimo koeficientas
ζ = c/cc
Slopinamųjų virpesių dažnis
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės
k = k1 + k2
Nuosekliai sujungtos spyruoklės
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis
N1​ = 30, m = 4 mm

1,5 kW variklis, besisukantis 2900 rpm greičiu, suka krumpliaratuką su 30 dantų, kurio modulis 4 mm. Raskite tangentinę jėgą Ft, veikiančią krumpliaratuko dantis.

P = 1,5 kWn = 2900 rpmN1 = 30m = 4 mm
Ft = N
2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus
d1​ = 125 mmd2​ = 400 mm720 rpmC = 800 mmθ = ?

Atviras diržas jungia 125 mm ir 400 mm skriemulius, kurių ašys nutolusios 800 mm. Raskite apkabos kampą θ ant mažesniojo skriemulio laipsniais.

d1 = 125 mmd2 = 400 mmC = 800 mm
θ = °
3.Velenų sukimasVidutinis
T = 750 N·md = 40 mmL = 1,5 mφ = ?

Pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 750 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Velenų sukimasSunkus
Td = ?

Pilnaviduris velenas turi perduoti 5 kW esant 1500 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 60 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 5 kWN = 1500 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis
σx​ = 60σy​ = 100τxy​ = −50MPa

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 60 MPa, σᵧ = 100 MPa ir τₓᵧ = −50 MPa, σz = 0. Raskite absoliutųjį didžiausią tangentinį įtempį τabs taške (atsižvelgiant į visas plokštumas trijuose matmenyse).

σx = 60 MPaσy = 100 MPaτxy = −50 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus
σx​ = 90σy​ = 40τxy​ = −20MPa

Apkrautos detalės taške σₓ = 90 MPa, σᵧ = 40 MPa ir τₓᵧ = −20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σθ pjūvyje, kurio normalė pasukta 15° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σx = 90 MPaσy = 40 MPaτxy = −20 MPaθ = 15°
σθ = MPa
7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis
100 kNØ20110 GPaØ100/70400 mmδ = ?

plienas strypas (skersmuo 20 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš bronza (išorinis skersmuo 100 mm, vidinis skersmuo 70 mm, E = 110 GPa). Abu 400 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 100 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 100 kNstrypas: Ø20 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 400 mm
δ = mm
8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus
Ø 25 mmPlienas1,5 mØ 12 mmŽalvaris0,5 mP = 45 kN

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite didžiausią normalinį įtempį σmax strype.

P = 45 kN1 ruožas: Ø25 mm, 1,5 m, plienas (E = 200 GPa)2 ruožas: Ø12 mm, 0,5 m, žalvaris (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 1 md = 25 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 1 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 25 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
P = 50 kNL = 4 md = ?skerspjūvis

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Ji turi atlaikyti 50 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 50 kNn = 2L = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)
d = mm
11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis
k = 50 kN/mζ = 0,6m = 12 kg

12 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 50 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,6. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį fd Hz.

m = 12 kgk = 50 kN/mζ = 0,6
fd = Hz
12.Mechaniniai virpesiaiSunkus
k1​ = 100k2​ = 50k3​ = 30m = 100 kg

100 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 30 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 100 kN/m ir k₂ = 50 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį fn Hz.

m = 100 kgk1 = 100 kN/mk2 = 50 kN/mk3 = 30 kN/m
fn = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: Ft = 82,32 N

Krumpliaračių geometrija: modulis m nustato danties dydį. Krumpliaračio su N dantų dalijamasis skersmuo d = m·N, dviejų sukibusių krumpliaračių moduliai vienodi, o jų tarpašinis atstumas a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Greitis dalijamajame apskritime v = π·d·n/60, o tangentinė danties jėga gaunama iš sukimo momento: Ft = 2T/d.

Krumpliaratuko sukimo momentas

ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s
T = P/ω = 1500/303,7 = 4,939 N·m

Dalijamasis skersmuo

d = m·N = 4·30 = 120 mm

Tangentinė jėga

Ft = 2T/d = 2·4,939/0,12 = 82,32 N

Atsakymas

Ft = 82,32 N
2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: θ = 160,2 °

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = eμθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo kampas

asin(0,1719) = 9,897°

Apkabos kampas

θ = 180 − 2·9,897 = 160,2°

Atsakymas

θ = 160,2°
3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 9,864 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(26000·251327) = 0,1722 rad
φ = 0,1722·180/π = 9,864°

Atsakymas

φ = 9,864°
4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 13,93 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 5000/157,1 = 31,83 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·31831/(π·60)) = 13,93 mm

Atsakymas

d = 13,93 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τabs = 66,93 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Trijuose matmenyse absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis yra (σmax − σmin)/2 tarp visų trijų pagrindinių įtempių; plokščiajame įtempių būvyje trečiasis lygus nuliui.

στxyCσ1​σ2​

Pagrindiniai įtempiai plokštumoje

C = 80 MPa, R = √((−20)² + (−50)²) = 53,85 MPa
σ1 = 133,9 MPa, σ2 = 26,15 MPa, σz = 0

Didžiausias iš trijų apskritimų

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(107,7, 133,9, 26,15)/2 = 66,93 MPa

Atsakymas

τabs = 66,93 MPa

Čia lemia apskritimas už plokštumos ribų: absoliutusis maksimumas didesnis už maksimumą plokštumoje R.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σθ = 76,65 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Transformacijos lygtis

σθ = 65 + 25·0,866 + −20·0,5 = 76,65 MPa

Atsakymas

σθ = 76,65 MPa
7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,07945 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, Pi = P·EiAi/ΣEA, o σi = Ei·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·4006 = 5,034 × 10⁸ N

Sutrumpėjimas

δ = 100000·400/5,034 × 10⁸ = 0,07945 mm

Atsakymas

δ = 0,07945 mm
8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σmax = 397,9 MPa

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 91,67 MPa
σ2 = 397,9 MPa

Didžiausias įtempis

Plonesnio ruožo plotas mažesnis, todėl jame įtempis didesnis.

σmax = 397,9 MPa

Atsakymas

σmax = 397,9 MPa
9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 13,25 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·1000 = 1000 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1000² = 13247 N = 13,25 kN

Atsakymas

Pcr = 13,25 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 69,34 mm

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Reikiama kritinė jėga

Pcr = n·P = 2·50000 = 100000 N
KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 69,34 mm

Atsakymas

d = 69,34 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 161,5, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: fd = 8,219 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ωn = √(50000/12) = 64,55 rad/s
fn = 64,55/(2π) = 10,27 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

fd = fn·√(1 − ζ²) = 10,27·√(1 − 0,6²) = 8,219 Hz

Atsakymas

fd = 8,219 Hz
12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: fn = 2,516 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k1 ir k2. Ši pora nuosekliai sujungta su k3, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k12 = 100 + 50 = 150 kN/m
keq = 150·30/(150 + 30) = 25 kN/m

Savasis dažnis

ωn = √(25000/100) = 15,81 rad/s
fn = 15,81/(2π) = 2,516 Hz

Atsakymas

fn = 2,516 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design