Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

2,2 kW variklis, besisukantis 1500 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 45; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 80. Krumpliaračių poros naudingumo koeficientas – 96 %. Raskite išėjimo sukimo momentą T₂ varomojo krumpliaračio velene.

P = 2,2 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 45N₂ = 80η = 96%

T₂ = N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Sudėtinėje krumpliaračių pavaroje krumpliaratis A (40 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 3000 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (72 dantų). Krumpliaratis C (18 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D ant išėjimo veleno. Išėjimo velenas turi suktis 625 rpm greičiu. Kiek dantų N_D turi turėti krumpliaratis D?

n_in = 3000 rpmA = 40B = 72C = 18n_out = 625 rpm

N_D =

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (žalvaris) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 400 N·md = 50 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas perduoda 30 kW esant 500 aps./min. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

P = 30 kWN = 500 rpmd_o = 60 mmd_i = 36 mm

τ_max = MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 20 MPa ir σᵧ = 30 MPa. Kokio didumo gali būti tangentinis įtempis τ_xy, kol didžiausias pagrindinis įtempis pasieks 65 MPa?

σ_x = 20 MPaσ_y = 30 MPaσ₁ = 65 MPa

τ_xy = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 130 MPa, σᵧ = 50 MPa ir τₓᵧ = 20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 60° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 130 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (žalvaris) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 95 kNd = 25 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas strypas (skersmuo 30 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 120 MPa) yra viduje vamzdžio iš bronza (išorinis skersmuo 120 mm, vidinis skersmuo 70 mm, E = 110 GPa, leistinasis įtempis 100 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą P_max.

strypas: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPavamzdis: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (plienas)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Ji turi atlaikyti 95 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 95 kNn = 2,5L = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

2 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 4 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 90 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 2 kgk = 4 kN/mc = 90 N·s/m

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

40 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 15 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 100 kN/m ir k₂ = 50 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 40 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T₂ = 23,9 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/157,1 = 14,01 N·m

Išėjimo sukimo momentas

T₂ = 14,01·80/45·0,96 = 23,9 N·m

Atsakymas

T₂ = 23,9 N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: N_D = 48

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Tarpinio veleno greitis

n_B = n_C = 3000·40/72 = 1667 rpm

Krumpliaračio D dantys

N_D = C·n_C/n_out = 18·1667/625 = 48

Atsakymas

N_D = 48

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 0,7662 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 400·1000·800/(39000·613592) = 0,01337 rad

φ = 0,01337·180/π = 0,7662°

Atsakymas

φ = 0,7662°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 15,52 MPa

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 30000/52,36 = 573 N·m

Polinis inercijos momentas

J = π(60⁴ − 36⁴)/32 = 1,107 × 10⁶ mm⁴

Didžiausias tangentinis įtempis

τ_max = T·(d_o/2)/J = 572958·30/1,107 × 10⁶ = 15,52 MPa

Atsakymas

τ_max = 15,52 MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_xy = 39,69 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Reikiamas spindulys

C = (20 + 30)/2 = 25 MPa

R = σ₁ − C = 65 − 25 = 40 MPa

Tangentinis įtempis

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(40² − 5²) = 39,69 MPa

Atsakymas

τ_xy = 39,69 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 87,32 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 90 + 40·−0,5 + 20·0,866 = 87,32 MPa

Atsakymas

σ_θ = 87,32 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 1935 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 95·1000/490,9 = 193,5 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for žalvaris = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 193,5/100000 = 0,001935 = 1935 µε

Atsakymas

ε = 1935 µε

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P_max = 577,3 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·7461 = 9,621 × 10⁸ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,0006, 0,0009091) = 0,0006 (plienas)

Didžiausia apkrova

P_max = 0,0006·9,621 × 10⁸ = 577268 N = 577,3 kN

Atsakymas

P_max = 577,3 kN

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 49,44 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/3500² = 49436 N = 49,44 kN

Atsakymas

P_cr = 49,44 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 60,87 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2,5·95000 = 237500 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·237500·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 60,87 mm

Atsakymas

d = 60,87 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 92, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,5031

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(4000·2) = 178,9 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 90/178,9 = 0,5031

Atsakymas

ζ = 0,5031

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 2,939 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 100 + 50 = 150 kN/m

k_eq = 150·15/(150 + 15) = 13,64 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(13636/40) = 18,46 rad/s

f_n = 18,46/(2π) = 2,939 Hz

Atsakymas

f_n = 2,939 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design