Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

100 mm skriemulys sukasi 1440 rpm ir diržu suka 315 mm skriemulį, slydimas 2,5 %. Raskite varomojo skriemulio sūkių dažnį n₂.

n₁ = 1440 rpmd₁ = 100 mmd₂ = 315 mms = 2,5 %

n₂ = rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (20 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 1450 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (40 dantų). Krumpliaratis C (12 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (80 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį n_out.

n_in = 1450 rpmA = 20B = 40C = 12D = 80

n_out = rpm

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (žalvaris) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 750 N·md = 30 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (plienas), kurio skersmuo 60 mm, abiem galais A ir B įtvirtintas standžiose sienose. Taške C, 3 m atstumu nuo A ir 0,5 m atstumu nuo B, pridėtas 400 N·m sukimo momentas. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

d = 60 mmT₀ = 400 N·ma = 3 mb = 0,5 m

τ_max = MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 0 MPa, σᵧ = 120 MPa ir τₓᵧ = 50 MPa (tempimas teigiamas). Elementas pasukamas 60° prieš laikrodžio rodyklę. Raskite normalinį įtempį σ_y′ pasukto elemento sienelėse, statmenose pasuktajai y′ ašiai.

σ_x = 0 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 60°

σ_y′ = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 150 MPa, σᵧ = 10 MPa ir τₓᵧ = −60 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 45° pagal laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 150 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −60 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (aliuminis) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 105 kNd = 30 mmL = 2,5 mE = 70 GPa

ε = µε

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 75 kN1 ruožas: Ø30 mm, 2 m, varis (E = 117 GPa)2 ruožas: Ø20 mm, 0,5 m, žalvaris (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 4 mE = 200 GPa (plienas)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

40 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 5 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,45. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 40 kgk = 5 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

20 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 40 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 100 kN/m ir k₂ = 60 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 20 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n₂ = 445,7 rpm

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Sūkių dažnis be slydimo

1440·100/315 = 457,1 rpm

Su slydimu

n₂ = 457,1·0,975 = 445,7 rpm

Atsakymas

n₂ = 445,7 rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_out = 108,8 rpm

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Pirmoji pakopa

n_B = 1450·20/40 = 725 rpm = n_C

Antroji pakopa

n_out = 725·12/80 = 108,8 rpm

Atsakymas

n_out = 108,8 rpm

bendras perdavimo skaičius = 13,33 : 1

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 20,78 °

Polinis inercijos momentas

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(39000·79522) = 0,3627 rad

φ = 0,3627·180/π = 20,78°

Atsakymas

φ = 20,78°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 8,084 MPa

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω. Kai abu galai įtvirtinti, vien statika duoda tik T_A + T_B = T₀; antroji lygtis yra suderinamumas (abiejų dalių vienodas sukimo kampas apkrautame skerspjūvyje).

Pusiausvyra ir suderinamumas

T_A + T_B = 400

T_A·a = T_B·b

T_A = 400·0,5/3,5 = 57,14 N·m

T_B = 400·3/3,5 = 342,9 N·m

Didžiausias tangentinis įtempis

Lemia didesnysis iš dviejų sukimo momentų (skersmuo tas pats).

τ_max = 16·342857/(π·60³) = 8,084 MPa

Atsakymas

τ_max = 8,084 MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_y′ = −13,3 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Transformacijos lygtis y′ sienelei

σ_y′ = 60 − (−60)·(−0,5) − 50·0,866 = −13,3 MPa

Patikra

Normalinių įtempių suma sukant elementą nekinta.

σ_x′ = 133,3 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 120 = σ_x + σ_y

Atsakymas

σ_y′ = −13,3 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 140 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 80 + 70·0 + −60·−1 = 140 MPa

Atsakymas

σ_θ = 140 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 2122 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 105·1000/706,9 = 148,5 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for aliuminis = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 148,5/70000 = 0,002122 = 2122 µε

Atsakymas

ε = 2122 µε

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 3,007 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 106,1 MPa

σ₂ = 238,7 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 106,1·2000/117000 = 1,814 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 238,7·500/100000 = 1,194 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,007 mm

Atsakymas

δ = 3,007 mm

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 84,22 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/2500² = 84221 N = 84,22 kN

Atsakymas

P_cr = 84,22 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 19,28 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/12,5 = 320

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/320² = 19,28 MPa

Atsakymas

σ_cr = 19,28 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 1,589 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(5000/40) = 11,18 rad/s

f_n = 11,18/(2π) = 1,779 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,779·√(1 − 0,45²) = 1,589 Hz

Atsakymas

f_d = 1,589 Hz

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 6,366 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 100 + 60 = 160 kN/m

k_eq = 160·40/(160 + 40) = 32 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(32000/20) = 40 rad/s

f_n = 40/(2π) = 6,366 Hz

Atsakymas

f_n = 6,366 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design