Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

1,5 kW variklis, besisukantis 1440 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 24; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 80. Krumpliaračių poros naudingumo koeficientas – 97 %. Raskite išėjimo sukimo momentą T₂ varomojo krumpliaračio velene.

P = 1,5 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 24N₂ = 80η = 97%

T₂ = N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Planetinėje pavaroje saulės krumpliaratis turi 16 dantų, o kiekvienas satelitas – 12 dantų. Vedžiklis nejudamas, o saulės krumpliaratis sukamas 1200 rpm greičiu. Raskite vainikinio krumpliaračio sukimosi greitį n_r (didumą).

N_s = 16N_p = 12n_s = 1200 rpm

n_r = rpm

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 250 N·md = 50 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas turi perduoti 50 kW esant 1500 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 80 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 50 kWN = 1500 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = −50 MPa, σᵧ = −30 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa, σ_z = 0. Raskite absoliutųjį didžiausią tangentinį įtempį τ_abs taške (atsižvelgiant į visas plokštumas trijuose matmenyse).

σ_x = −50 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 30 MPa, σᵧ = −60 MPa ir τₓᵧ = 20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 30° pagal laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 30 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 20 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (aliuminis) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 25 kNd = 30 mmL = 3 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 65 kN1 ruožas: Ø35 mm, 1,5 m, aliuminis (E = 70 GPa)2 ruožas: Ø16 mm, 0,5 m, varis (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (plienas)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

15 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 8 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 170 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 15 kgk = 8 kN/mc = 170 N·s/m

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

50 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 100 kN/m, apatinės k₂ = 40 kN/m. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 50 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T₂ = 32,16 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/150,8 = 9,947 N·m

Išėjimo sukimo momentas

T₂ = 9,947·80/24·0,97 = 32,16 N·m

Atsakymas

T₂ = 32,16 N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_r = 480 rpm

Planetinės pavaros: saulės krumpliaračio, vainiko ir vedžiklio greičius sieja Viliso lygtis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: žiūrint iš vedžiklio, tai paprasta krumpliaračių pavara, kurioje satelitai yra tarpiniai krumpliaračiai. Užfiksavus vieną narį, pavara tampa reduktoriumi su vienu perdavimo skaičiumi.

Vainikinio krumpliaračio dantys

N_r = N_s + 2·N_p = 16 + 2·12 = 40

Viliso lygtis, kai vedžiklis nejudamas

Kai n_c = 0, saulės krumpliaratis per satelitus suka vainiką, o satelitai veikia kaip tarpiniai krumpliaračiai.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1200·16/40 = −480 rpm

|n_r| = 480 rpm

Atsakymas

n_r = 480 rpm

Vainikas sukasi priešinga kryptimi nei saulės krumpliaratis.

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 0,8979 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1000/(26000·613592) = 0,01567 rad

φ = 0,01567·180/π = 0,8979°

Atsakymas

φ = 0,8979°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 27,26 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 50000/157,1 = 318,3 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·318310/(π·80)) = 27,26 mm

Atsakymas

d = 27,26 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_abs = 35,81 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Trijuose matmenyse absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis yra (σ_max − σ_min)/2 tarp visų trijų pagrindinių įtempių; plokščiajame įtempių būvyje trečiasis lygus nuliui.

Pagrindiniai įtempiai plokštumoje

C = −40 MPa, R = √((−10)² + 30²) = 31,62 MPa

σ₁ = −8,377 MPa, σ₂ = −71,62 MPa, σ_z = 0

Didžiausias iš trijų apskritimų

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(63,25, 8,377, 71,62)/2 = 35,81 MPa

Atsakymas

τ_abs = 35,81 MPa

Čia lemia apskritimas už plokštumos ribų: absoliutusis maksimumas didesnis už maksimumą plokštumoje R.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = −9,821 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = −15 + 45·0,5 + 20·−0,866 = −9,821 MPa

Atsakymas

σ_θ = −9,821 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 1,516 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 25·1000/706,9 = 35,37 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for aliuminis = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 35,37/70000 = 0,0005053 = 505,3 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,0005053·3000 mm = 1,516 mm

Atsakymas

δ = 1,516 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 2,829 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 67,56 MPa

σ₂ = 323,3 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 67,56·1500/70000 = 1,448 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 323,3·500/117000 = 1,382 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,829 mm

Atsakymas

δ = 2,829 mm

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 248,1 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·4000 = 4000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/4000² = 248050 N = 248,1 kN

Atsakymas

P_cr = 248,1 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 11,99 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/12,5 = 240

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11,99 MPa

Atsakymas

σ_cr = 11,99 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,2454

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(8000·15) = 692,8 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 170/692,8 = 0,2454

Atsakymas

ζ = 0,2454

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 3,805 Hz

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/100 + 1/40 → k_eq = 100·40/(100 + 40) = 28,57 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(28571/50) = 23,9 rad/s

f_n = 23,9/(2π) = 3,805 Hz

Atsakymas

f_n = 3,805 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design