Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

15 kW variklis, besisukantis 2900 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 30; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 32. Nuostolių nepaisykite. Raskite sukimo momentą T₁ variklio velene.

P = 15 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 30N₂ = 32η = 100%

T₁ = N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 200 mm varantįjį skriemulį, sukamą 1440 rpm, su 315 mm skriemuliu; ašys nutolusios 1000 mm. Trinties koeficientas yra 0,3, o įtemptosios šakos įtempimas neturi viršyti 1000 N. Raskite didžiausią galią P, kurią diržas gali perduoti neslysdamas, kW (išcentrinių jėgų neįskaitykite).

d₁ = 200 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 315 mmC = 1000 mmμ = 0,3T₁ = 1000 N

P = kW

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnavidurį 1,5 m ilgio veleną (aliuminis) veikia 1000 N·m sukimo momentas. Sukimo kampas tarp jo galų negali viršyti 3°. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį šią sąlygą.

T = 1000 N·mL = 1,5 mG = 26 GPaφ_allow = 3°

d = mm

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (plienas), kurio skersmuo 50 mm, įtvirtintas taške A. Taške B, 1,2 m atstumu nuo A, veikia 200 N·m sukimo momentas, o laisvajame gale C, dar 1,5 m toliau, veikia ta pačia kryptimi nukreiptas 400 N·m sukimo momentas. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

d = 50 mmT_B = 200 N·mT_C = 400 N·mAB = 1,2 mBC = 1,5 m

τ_max = MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 90 MPa, σᵧ = 80 MPa ir τₓᵧ = −30 MPa (tempimas teigiamas). Elementas pasukamas 30° prieš laikrodžio rodyklę. Raskite normalinį įtempį σ_y′ pasukto elemento sienelėse, statmenose pasuktajai y′ ašiai.

σ_x = 90 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 30°

σ_y′ = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 50 MPa, σᵧ = −30 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Raskite fon Mizeso ekvivalentinį įtempį σ_vM.

σ_x = 50 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 30 MPa

σ_vM = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (aliuminis) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 25 kNd = 12 mmL = 1 mE = 70 GPa

ε = µε

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas strypas (skersmuo 20 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 200 MPa) yra viduje vamzdžio iš varis (išorinis skersmuo 120 mm, vidinis skersmuo 70 mm, E = 120 GPa, leistinasis įtempis 60 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą P_max.

strypas: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPavamzdis: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (plienas)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Ji turi atlaikyti 30 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 30 kNn = 2,5L = 1 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 25 mm poslinkio amplitudės po 5 ciklų seka 3,8 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

x₀ = 25 mmx₅ = 3,8 mmn = 5

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

25 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 100 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 12 kN/m ir k₂ = 60 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 25 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T₁ = 49,39 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/303,7 = 49,39 N·m

Atsakymas

T₁ = 49,39 N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 8,997 kW

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Apkabos kampas

θ = 3,027 rad

Laisvosios šakos įtempimas

e^μθ = e^0,908 = 2,479, T₂ = 1000/2,479 = 403,3 N

Galia

P = (1000 − 403,3)·15,08 = 8,997 kW

Atsakymas

P = 8,997 kW

3.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 57,88 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Reikiamas polinis inercijos momentas

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 3·π/180 = 0,05236 rad

J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·1500/(26000·0,05236) = 1,102 × 10⁶ mm⁴

Skersmuo

d = (32J/π)^1/4 = 57,88 mm

Atsakymas

d = 57,88 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 24,45 MPa

Vidiniai sukimo momentai

T_C kryptis laikoma teigiama.

T_BC = T_C = 400 N·m

T_AB = T_C + T_B = 400 + 200 = 600 N·m

Didžiausias tangentinis įtempis

Ruože su didžiausiu vidiniu sukimo momentu įtempis didžiausias (skersmuo tas pats).

|T|_max = 600 N·m

τ_max = 16·600000/(π·50³) = 24,45 MPa

Atsakymas

τ_max = 24,45 MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_y′ = 108,5 MPa

Transformacijos lygtis y′ sienelei

σ_y′ = 85 − 5·0,5 − (−30)·0,866 = 108,5 MPa

Patikra

Normalinių įtempių suma sukant elementą nekinta.

σ_x′ = 61,52 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 170 = σ_x + σ_y

Atsakymas

σ_y′ = 108,5 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_vM = 87,18 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Takumo kriterijai: pagal fon Mizesą takumas prasideda, kai σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) pasiekia σ_Y; pagal Treską – kai absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis pasiekia σ_Y/2.

Pagrindiniai įtempiai

C = 10 MPa, R = 50 MPa

σ₁ = 60 MPa, σ₂ = −40 MPa, σ₃ = 0

Fon Mizesas

σ_vM = √(60² − 60·(−40) + (−40)²) = 87,18 MPa

Atsakymas

σ_vM = 87,18 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 3158 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 25·1000/113,1 = 221 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for aliuminis = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 221/70000 = 0,003158 = 3158 µε

Atsakymas

ε = 3158 µε

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P_max = 479,1 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·7461 = 9,582 × 10⁸ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,001, 0,0005) = 0,0005 (varis)

Didžiausia apkrova

P_max = 0,0005·9,582 × 10⁸ = 479093 N = 479,1 kN

Atsakymas

P_max = 479,1 kN

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 6,056 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·5000 = 10000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/10000² = 6056 N = 6,056 kN

Atsakymas

P_cr = 6,056 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 41,95 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2,5·30000 = 75000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 41,95 mm

Atsakymas

d = 41,95 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 190,7, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,05986

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritminis slopinimo dekrementas

δ = (1/5)·ln(25/3,8) = 0,3768

Slopinimo koeficientas

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3768/√(39,48 + 0,142) = 0,05986

Atsakymas

ζ = 0,05986

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 6,513 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 12 + 60 = 72 kN/m

k_eq = 72·100/(72 + 100) = 41,86 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(41860/25) = 40,92 rad/s

f_n = 40,92/(2π) = 6,513 Hz

Atsakymas

f_n = 6,513 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design