Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai
n1·N1 = n2·N2
Sukimo momentas
T2 = T1·(N2/N1)·η
Galia
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara
bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis
τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas
J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas
φ = TL/(GJ)
Galia
P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

  1. Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
  2. Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
  3. Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
  4. Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras
C = (σx + σy)/2
Spindulys
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Pagrindiniai įtempiai
σ1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Pasvirasis pjūvis
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metodas

  1. Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
  2. Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
  4. Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis
σ = F/A
Deformacija
ε = ΔL/L
Huko dėsnis
σ = E·ε
Pailgėjimas
ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija
εT = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Iš statinio įlinkio
ωn = √(g/δst)
Kritinis slopinimas
cc = 2√(km) = 2mωn
Slopinimo koeficientas
ζ = c/cc
Slopinamųjų virpesių dažnis
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės
k = k1 + k2
Nuosekliai sujungtos spyruoklės
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis
N1​ = 15N2​ = 18

1,1 kW variklis, besisukantis 1500 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 15; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 18. Krumpliaračių poros naudingumo koeficientas – 98 %. Raskite išėjimo sukimo momentą T2 varomojo krumpliaračio velene.

P = 1,1 kWn1 = 1500 rpmN1 = 15N2 = 18η = 98%
T2 = N·m
2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus
Ns​ = 15nr​ = ?Np​ = 24vedžiklis nejudamas

Planetinėje pavaroje saulės krumpliaratis turi 15 dantų, o kiekvienas satelitas – 24 dantų. Vedžiklis nejudamas, o saulės krumpliaratis sukamas 1200 rpm greičiu. Raskite vainikinio krumpliaračio sukimosi greitį nr (didumą).

Ns = 15Np = 24ns = 1200 rpm
nr = rpm
3.Velenų sukimasVidutinis
T = 250 N·md = 50 mmL = 2 mφ = ?

Pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 250 N·md = 50 mmL = 2 mG = 26 GPa
φ = °
4.Velenų sukimasSunkus
d = 60 mmTB​ = 250 N·mTC​ = 100 N·mABC2 m1,5 m

Pilnaviduris velenas (plienas), kurio skersmuo 60 mm, įtvirtintas taške A. Taške B, 2 m atstumu nuo A, veikia 250 N·m sukimo momentas, o laisvajame gale C, dar 1,5 m toliau, veikia ta pačia kryptimi nukreiptas 100 N·m sukimo momentas. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τmax velene.

d = 60 mmTB = 250 N·mTC = 100 N·mAB = 2 mBC = 1,5 m
τmax = MPa
5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis
σx​ = 30σy​ = 50τxy​ = −60MPa

Taške σₓ = 30 MPa, σᵧ = 50 MPa ir τₓᵧ = −60 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θs tarp −90° ir 90° nuo x ašies iki plokštumos, kurioje tangentinis įtempis pasiekia didžiausią teigiamą vertę +R, normalės (tangentinis įtempis teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σx = 30 MPaσy = 50 MPaτxy = −60 MPa
θs = °
6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus
σx​ = 10σy​ = −50τxy​ = −20MPa

Apkrautos detalės taške σₓ = 10 MPa, σᵧ = −50 MPa ir τₓᵧ = −20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σθ pjūvyje, kurio normalė pasukta 15° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σx = 10 MPaσy = −50 MPaτxy = −20 MPaθ = 15°
σθ = MPa
7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis
P = ?12300 mm300 mmØ40Ø30δ = 0,5 mm

Strypą sudaro plienas atkarpa (skersmuo 40 mm, ilgis 300 mm, E = 200 GPa), galais sujungta su atkarpa iš žalvaris (skersmuo 30 mm, ilgis 300 mm, E = 100 GPa). Vienas galas įtvirtintas, kitas traukiamas. Raskite ašinę apkrovą P, kuri jį iš viso pailgina 0,5 mm.

1 atkarpa: plienas, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: žalvaris, Ø30 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0,5 mm
P = kN
8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus
Ø 40 mmPlienas1 mØ 12 mmVaris1,5 mP = 40 kN

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite didžiausią normalinį įtempį σmax strype.

P = 40 kN1 ruožas: Ø40 mm, 1 m, plienas (E = 200 GPa)2 ruožas: Ø12 mm, 1,5 m, varis (E = 117 GPa)
σmax = MPa
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 3 m50 × 100 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 50 × 100 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
P = 45 kNL = 5 md = ?skerspjūvis

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 45 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 45 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (plienas)
d = mm
11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis
k = 10 kN/mζ = 0,7m = 5 kg

5 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 10 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,7. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį fd Hz.

m = 5 kgk = 10 kN/mζ = 0,7
fd = Hz
12.Mechaniniai virpesiaiSunkus
k1​ = 15k2​ = 20k3​ = 10m = 5 kg

5 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 10 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 15 kN/m ir k₂ = 20 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį fn Hz.

m = 5 kgk1 = 15 kN/mk2 = 20 kN/mk3 = 10 kN/m
fn = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T2 = 8,235 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1100/157,1 = 7,003 N·m

Išėjimo sukimo momentas

T2 = 7,003·18/15·0,98 = 8,235 N·m

Atsakymas

T2 = 8,235 N·m
2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: nr = 285,7 rpm

Planetinės pavaros: saulės krumpliaračio, vainiko ir vedžiklio greičius sieja Viliso lygtis (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: žiūrint iš vedžiklio, tai paprasta krumpliaračių pavara, kurioje satelitai yra tarpiniai krumpliaračiai. Užfiksavus vieną narį, pavara tampa reduktoriumi su vienu perdavimo skaičiumi.

Vainikinio krumpliaračio dantys

Nr = Ns + 2·Np = 15 + 2·24 = 63

Viliso lygtis, kai vedžiklis nejudamas

Kai nc = 0, saulės krumpliaratis per satelitus suka vainiką, o satelitai veikia kaip tarpiniai krumpliaračiai.

nr = −ns·Ns/Nr = −1200·15/63 = −285,7 rpm
|nr| = 285,7 rpm

Atsakymas

nr = 285,7 rpm

Vainikas sukasi priešinga kryptimi nei saulės krumpliaratis.

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 1,796 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2000/(26000·613592) = 0,03134 rad
φ = 0,03134·180/π = 1,796°

Atsakymas

φ = 1,796°
4.Velenų sukimas

Atsakymas: τmax = 8,252 MPa

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Vidiniai sukimo momentai

TC kryptis laikoma teigiama.

TBC = TC = 100 N·m
TAB = TC + TB = 100 + 250 = 350 N·m

Didžiausias tangentinis įtempis

Ruože su didžiausiu vidiniu sukimo momentu įtempis didžiausias (skersmuo tas pats).

|T|max = 350 N·m
τmax = 16·350000/(π·60³) = 8,252 MPa

Atsakymas

τmax = 8,252 MPa
5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θs = 85,27 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

στxyCτmax​

Kampas apskritime

Moro apskritime viršutinis taškas (+R) nuo pagrindinio taško σ₁ nutolęs 90°; elemente tai atitinka 45°.

cos 2θs = −60/60,83 = −0,9864, sin 2θs = −(−10)/60,83 = 0,1644
2θs = atan2(10, −60) = 170,5°

Kampas elemente

θs = 85,27°
patikra: θs − θp = 85,27 − (−49,73) = 135°

Atsakymas

θs = 85,27°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σθ = −4,019 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Transformacijos lygtis

σθ = −20 + 30·0,866 + −20·0,5 = −4,019 MPa

Atsakymas

σθ = −4,019 MPa
7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P = 91,95 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, Pi = P·EiAi/ΣEA, o σi = Ei·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Lankstumai

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1,194 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

Apkrova

P = 0,5/5,438 × 10⁻⁶ = 91949 N = 91,95 kN

Atsakymas

P = 91,95 kN
8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σmax = 353,7 MPa

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 31,83 MPa
σ2 = 353,7 MPa

Didžiausias įtempis

Plonesnio ruožo plotas mažesnis, todėl jame įtempis didesnis.

σmax = 353,7 MPa

Atsakymas

σmax = 353,7 MPa
9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 19,99 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

Imin = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·3000 = 6000 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1,042 × 10⁶/6000² = 19991 N = 19,99 kN

Atsakymas

Pcr = 19,99 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 49,09 mm

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Reikiama kritinė jėga

Pcr = n·P = 2·45000 = 90000 N
KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 49,09 mm

Atsakymas

d = 49,09 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 203,7, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: fd = 5,083 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ωn = √(10000/5) = 44,72 rad/s
fn = 44,72/(2π) = 7,118 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

fd = fn·√(1 − ζ²) = 7,118·√(1 − 0,7²) = 5,083 Hz

Atsakymas

fd = 5,083 Hz
12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: fn = 6,277 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k1 ir k2. Ši pora nuosekliai sujungta su k3, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k12 = 15 + 20 = 35 kN/m
keq = 35·10/(35 + 10) = 7,778 kN/m

Savasis dažnis

ωn = √(7778/5) = 39,44 rad/s
fn = 39,44/(2π) = 6,277 Hz

Atsakymas

fn = 6,277 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design