Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Diržas juda ant 100 mm varančiojo skriemulio, kuris sukasi 1440 rpm. Įtemptosios šakos įtempimas yra 400 N, laisvosios – 200 N. Raskite perduodamą galią P kW.

d₁ = 100 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 400 NT₂ = 200 N

P = kW

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 150 mm varantįjį skriemulį, sukamą 960 rpm, su 450 mm skriemuliu; ašys nutolusios 500 mm. Trinties koeficientas yra 0,3, o įtemptosios šakos įtempimas neturi viršyti 1200 N. Raskite didžiausią galią P, kurią diržas gali perduoti neslysdamas, kW (išcentrinių jėgų neįskaitykite).

d₁ = 150 mmn₁ = 960 rpmd₂ = 450 mmC = 500 mmμ = 0,3T₁ = 1200 N

P = kW

3.Velenų sukimasVidutinis

Tuščiaviduris velenas (žalvaris; išorinis skersmuo 50 mm, vidinis skersmuo 25 mm, ilgis 1,5 m) viename gale įtvirtintas, o kitame sukamas 2000 N·m sukimo momentu. Raskite sukimo kampą φ laipsniais.

T = 2000 N·md_o = 50 mmd_i = 25 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (plienas) perduoda 30 kW esant 500 rpm. Tangentinis įtempis negali viršyti 60 MPa, o santykinis sukimo kampas – 0,25°/m. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį abi sąlygas.

P = 30 kWN = 500 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 80 MPa, σᵧ = 100 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = 80 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonasienis cilindrinis rezervuaras, kurio vidinis skersmuo 1500 mm, o sienelės storis 10 mm, laiko dujas, kurių manometrinis slėgis 1,5 MPa. Jis pagamintas iš lakšto, suvirinto sraigine siūle, sudarančia 35° kampą su cilindro ašimi. Raskite normalinį įtempį σ_n, veikiantį skersai suvirinimo siūlės.

D = 1500 mmt = 10 mmp = 1,5 MPaα = 35°

σ_n = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (žalvaris) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 20 kNd = 20 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite didžiausią normalinį įtempį σ_max strype.

P = 35 kN1 ruožas: Ø30 mm, 0,5 m, plienas (E = 200 GPa)2 ruožas: Ø12 mm, 1,5 m, varis (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 4 mE = 200 GPa (plienas)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 15 mm poslinkio amplitudės po 2 ciklų seka 9,1 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

x₀ = 15 mmx₂ = 9,1 mmn = 2

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

40 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 5 kN/m, apatinės k₂ = 100 kN/m. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 40 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 1,508 kW

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo greitis

v = 7,54 m/s

Galia

P = (400 − 200)·7,54 = 1508 W = 1,508 kW

Atsakymas

P = 1,508 kW

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 4,815 kW

Apkabos kampas

θ = 2,532 rad

Laisvosios šakos įtempimas

e^μθ = e^0,7597 = 2,138, T₂ = 1200/2,138 = 561,4 N

Galia

P = (1200 − 561,4)·7,54 = 4,815 kW

Atsakymas

P = 4,815 kW

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 7,662 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

Sukimo kampas

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·1500/(39000·575243) = 0,1337 rad

φ = 0,1337·180/π = 7,662°

Atsakymas

φ = 7,662°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 63,94 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 30000/52,36 = 573 N·m

Skersmuo pagal stiprumą

T = 573 N·m = 572958 N·mm

d_τ = ∛(16·572958/(π·60)) = 36,5 mm

Skersmuo pagal standumą

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·572958/(π·80000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 63,94 mm

Lemiamasis skersmuo

Turi būti tenkinamos abi sąlygos, todėl lemia didesnis skersmuo.

d = max(36,5, 63,94) = 63,94 mm

Atsakymas

d = 63,94 mm

Čia lemia standumas.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 31,62 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((80 − 100)/2)² + 30²) = 31,62 MPa

Atsakymas

τ_max = 31,62 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_n = 93,99 MPa

Sienelės įtempiai

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 1,5·750/10 = 112,5 MPa

σ_a = pr/(2t) = 56,25 MPa

Transformuokite į siūlę

Ašį x imkite išilgai cilindro ašies (σ_a), o y – žiedo kryptimi (σ_h). Siūlės normalė su ašimi sudaro 90° − α kampą.

σ_n = 56,25·sin²35° + 112,5·cos²35° = 93,99 MPa

Atsakymas

σ_n = 93,99 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 636,6 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 20·1000/314,2 = 63,66 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for žalvaris = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 63,66/100000 = 0,0006366 = 636,6 µε

Atsakymas

ε = 636,6 µε

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ_max = 309,5 MPa

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 49,51 MPa

σ₂ = 309,5 MPa

Didžiausias įtempis

Plonesnio ruožo plotas mažesnis, todėl jame įtempis didesnis.

σ_max = 309,5 MPa

Atsakymas

σ_max = 309,5 MPa

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 387,6 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/1250² = 387578 N = 387,6 kN

Atsakymas

P_cr = 387,6 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 3,084 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·4000 = 8000 mm

KL/r = 8000/10 = 800

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/800² = 3,084 MPa

Atsakymas

σ_cr = 3,084 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,03974

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritminis slopinimo dekrementas

δ = (1/2)·ln(15/9,1) = 0,2499

Slopinimo koeficientas

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,2499/√(39,48 + 0,06244) = 0,03974

Atsakymas

ζ = 0,03974

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 1,737 Hz

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/5 + 1/100 → k_eq = 5·100/(5 + 100) = 4,762 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(4762/40) = 10,91 rad/s

f_n = 10,91/(2π) = 1,737 Hz

Atsakymas

f_n = 1,737 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design