Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

0,75 kW variklis, besisukantis 1500 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 20; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 32. Krumpliaračių poros naudingumo koeficientas – 97 %. Raskite sukimo momentą T₁ variklio velene.

P = 0,75 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 20N₂ = 32η = 97%

T₁ = N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Sudėtinėje krumpliaračių pavaroje krumpliaratis A (24 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 1440 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (72 dantų). Krumpliaratis C (12 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D ant išėjimo veleno. Išėjimo velenas turi suktis 72 rpm greičiu. Kiek dantų N_D turi turėti krumpliaratis D?

n_in = 1440 rpmA = 24B = 72C = 12n_out = 72 rpm

N_D =

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (plienas) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 200 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (žalvaris), kurio skersmuo 40 mm, įtvirtintas taške A. Taške B, 1,2 m atstumu nuo A, veikia 750 N·m sukimo momentas, o laisvajame gale C, dar 0,5 m toliau, veikia priešinga kryptimi nukreiptas 250 N·m sukimo momentas. Raskite galo C sukimo kampo didumą φ_C laipsniais.

d = 40 mmT_B = 750 N·mT_C = 250 N·mAB = 1,2 mBC = 0,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 60 MPa, σᵧ = −70 MPa ir τₓᵧ = −20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_p nuo x ašies iki didžiausio pagrindinio įtempio krypties, intervale nuo −90° iki 90°.

σ_x = 60 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_p = °

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 150 MPa, σᵧ = 10 MPa ir τₓᵧ = 60 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 45° pagal laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 150 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 60 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

plienas strypas (skersmuo 30 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš bronza (išorinis skersmuo 120 mm, vidinis skersmuo 50 mm, E = 110 GPa). Abu 300 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 50 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 50 kNstrypas: Ø30 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 25 mm, ilgis 600 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš aliuminis (skersmuo 30 mm, ilgis 500 mm, E = 70 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 40 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: aliuminis, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

100 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 100 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,45. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 100 kgk = 100 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

100 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 40 kN/m, apatinės k₂ = 15 kN/m. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 100 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 15 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T₁ = 4,775 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 750/157,1 = 4,775 N·m

Atsakymas

T₁ = 4,775 N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: N_D = 80

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Tarpinio veleno greitis

n_B = n_C = 1440·24/72 = 480 rpm

Krumpliaračio D dantys

N_D = C·n_C/n_out = 12·480/72 = 80

Atsakymas

N_D = 80

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 0,5836 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(80000·613592) = 0,01019 rad

φ = 0,01019·180/π = 0,5836°

Atsakymas

φ = 0,5836°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: φ_C = 2,777 °

Vidiniai sukimo momentai

T_C kryptis laikoma teigiama.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C − T_B = 250 − 750 = −500 N·m

Kiekvieno ruožo sukimo kampas

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = −500000·1200/(39000·251327) = −0,06121 rad

φ_BC = 250000·500/(39000·251327) = 0,01275 rad

Galo C sukimo kampas

φ_C = −0,06121 + 0,01275 = −0,04846 rad → |φ_C| = 2,777°

Atsakymas

φ_C = 2,777°

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_p = −8,551 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Kampas apskritime

Moro apskritime taškas x yra kampu 2θp nuo σ ašies; ketvirtis priklauso nuo σₓ − σᵧ ir τₓᵧ ženklų.

2θ_p = atan2(2·−20, 60 − −70) = −17,1°

Kampas elemente

θ_p = −8,551°

Atsakymas

θ_p = −8,551°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 20 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 80 + 70·0 + 60·−1 = 20 MPa

Atsakymas

σ_θ = 20 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,01283 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·9346 = 1,169 × 10⁹ N

Sutrumpėjimas

δ = 50000·300/1,169 × 10⁹ = 0,01283 mm

Atsakymas

δ = 0,01283 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 21,33 MPa

Standumai

k₁ = 200000·490,9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 70000·706,9/500 = 98960 N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 40000·98960/262585 = 15075 N

Įtempis

σ₂ = 15075/706,9 = 21,33 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 21,33 MPa

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 22,85 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·3000 = 3000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/3000² = 22846 N = 22,85 kN

Atsakymas

P_cr = 22,85 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 35,25 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/12,5 = 140

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35,25 MPa

Atsakymas

σ_cr = 35,25 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 4,495 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(100000/100) = 31,62 rad/s

f_n = 31,62/(2π) = 5,033 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 5,033·√(1 − 0,45²) = 4,495 Hz

Atsakymas

f_d = 4,495 Hz

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 10,91 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/40 + 1/15 → k_eq = 40·15/(40 + 15) = 10,91 kN/m

Atsakymas

k_eq = 10,91 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design