Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

7,5 kW variklis, besisukantis 2900 rpm greičiu, suka krumpliaratuką su 20 dantų, kurio modulis 4 mm. Raskite tangentinę jėgą F_t, veikiančią krumpliaratuko dantis.

P = 7,5 kWn = 2900 rpmN₁ = 20m = 4 mm

F_t = N

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (12 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 1450 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (18 dantų). Krumpliaratis C (36 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (40 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį n_out.

n_in = 1450 rpmA = 12B = 18C = 36D = 40

n_out = rpm

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (plienas) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 250 N·md = 30 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas perduoda 75 kW esant 750 aps./min. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

P = 75 kWN = 750 rpmd_o = 50 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 130 MPa ir σᵧ = −50 MPa. Kokio didumo gali būti tangentinis įtempis τ_xy, kol didžiausias pagrindinis įtempis pasieks 160 MPa?

σ_x = 130 MPaσ_y = −50 MPaσ₁ = 160 MPa

τ_xy = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = −60 MPa, σᵧ = 120 MPa ir τₓᵧ = −60 MPa (tempimas teigiamas). Raskite tangentinį įtempį τ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 15° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies (teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σ_x = −60 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 15°

τ_θ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (plienas) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 80 kNd = 25 mmL = 2,5 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 55 kN1 ruožas: Ø25 mm, 1,5 m, varis (E = 117 GPa)2 ruožas: Ø12 mm, 1 m, žalvaris (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 5 mE = 200 GPa (plienas)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 15 mm poslinkio amplitudės po 5 ciklų seka 2,3 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

x₀ = 15 mmx₅ = 2,3 mmn = 5

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

100 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 30 kN/m ir k₂ = 25 kN/m. Masė lieka horizontali. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 100 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 25 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: F_t = 617,4 N

Krumpliaračių geometrija: modulis m nustato danties dydį. Krumpliaračio su N dantų dalijamasis skersmuo d = m·N, dviejų sukibusių krumpliaračių moduliai vienodi, o jų tarpašinis atstumas a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Greitis dalijamajame apskritime v = π·d·n/60, o tangentinė danties jėga gaunama iš sukimo momento: F_t = 2T/d.

Krumpliaratuko sukimo momentas

ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T = P/ω = 7500/303,7 = 24,7 N·m

Dalijamasis skersmuo

d = m·N = 4·20 = 80 mm

Tangentinė jėga

F_t = 2T/d = 2·24,7/0,08 = 617,4 N

Atsakymas

F_t = 617,4 N

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_out = 870 rpm

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Pirmoji pakopa

n_B = 1450·12/18 = 966,7 rpm = n_C

Antroji pakopa

n_out = 966,7·36/40 = 870 rpm

Atsakymas

n_out = 870 rpm

bendras perdavimo skaičius = 1,667 : 1

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 5,629 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2500/(80000·79522) = 0,09824 rad

φ = 0,09824·180/π = 5,629°

Atsakymas

φ = 5,629°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 44,7 MPa

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 75000/78,54 = 954,9 N·m

Polinis inercijos momentas

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Didžiausias tangentinis įtempis

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·25/534071 = 44,7 MPa

Atsakymas

τ_max = 44,7 MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_xy = 79,37 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Reikiamas spindulys

C = (130 + (−50))/2 = 40 MPa

R = σ₁ − C = 160 − 40 = 120 MPa

Tangentinis įtempis

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(120² − 90²) = 79,37 MPa

Atsakymas

τ_xy = 79,37 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_θ = −6,962 MPa

Transformacijos lygtis

τ_θ = −−90·0,5 + −60·0,866 = −6,962 MPa

Atsakymas

τ_θ = −6,962 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 2,037 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 80·1000/490,9 = 163 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for plienas = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 163/200000 = 0,0008149 = 814,9 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,0008149·2500 mm = 2,037 mm

Atsakymas

δ = 2,037 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 6,3 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 112 MPa

σ₂ = 486,3 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 112·1500/117000 = 1,436 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 486,3·1000/100000 = 4,863 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,3 mm

Atsakymas

δ = 6,3 mm

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 17,13 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·1500 = 3000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/3000² = 17135 N = 17,13 kN

Atsakymas

P_cr = 17,13 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 64,45 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/20 = 175

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/175² = 64,45 MPa

Atsakymas

σ_cr = 64,45 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,05958

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritminis slopinimo dekrementas

δ = (1/5)·ln(15/2,3) = 0,375

Slopinimo koeficientas

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,375/√(39,48 + 0,1406) = 0,05958

Atsakymas

ζ = 0,05958

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 55 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k₁ + k₂.

k_eq = 30 + 25 = 55 kN/m

Atsakymas

k_eq = 55 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design