Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai
n1·N1 = n2·N2
Sukimo momentas
T2 = T1·(N2/N1)·η
Galia
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara
bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis
τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas
J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas
φ = TL/(GJ)
Galia
P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

  1. Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
  2. Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
  3. Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
  4. Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras
C = (σx + σy)/2
Spindulys
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Pagrindiniai įtempiai
σ1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Pasvirasis pjūvis
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metodas

  1. Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
  2. Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
  4. Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis
σ = F/A
Deformacija
ε = ΔL/L
Huko dėsnis
σ = E·ε
Pailgėjimas
ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija
εT = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Iš statinio įlinkio
ωn = √(g/δst)
Kritinis slopinimas
cc = 2√(km) = 2mωn
Slopinimo koeficientas
ζ = c/cc
Slopinamųjų virpesių dažnis
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės
k = k1 + k2
Nuosekliai sujungtos spyruoklės
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis
N1​ = 12N2​ = 48

2,2 kW variklis, besisukantis 1500 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 12; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 48. Krumpliaračių poros naudingumo koeficientas – 98 %. Raskite išėjimo sukimo momentą T2 varomojo krumpliaračio velene.

P = 2,2 kWn1 = 1500 rpmN1 = 12N2 = 48η = 98%
T2 = N·m
2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus
A = 20B = 25C = 18D = 25

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (20 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 1450 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (25 dantų). Krumpliaratis C (18 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (25 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį nout.

nin = 1450 rpmA = 20B = 25C = 18D = 25
nout = rpm
3.Velenų sukimasVidutinis
do​ = 75, di​ = 38 mmT = 1000 N·mL = 3 m

Tuščiaviduris velenas (aliuminis; išorinis skersmuo 75 mm, vidinis skersmuo 38 mm, ilgis 3 m) viename gale įtvirtintas, o kitame sukamas 1000 N·m sukimo momentu. Raskite sukimo kampą φ laipsniais.

T = 1000 N·mdo = 75 mmdi = 38 mmL = 3 mG = 26 GPa
φ = °
4.Velenų sukimasSunkus
d = ?5 kW, 300 rpm

Pilnaviduris velenas (plienas) perduoda 5 kW esant 300 rpm. Tangentinis įtempis negali viršyti 50 MPa, o santykinis sukimo kampas – 0,75°/m. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį abi sąlygas.

P = 5 kWN = 300 rpmτallow = 50 MPaθallow = 0,75°/mG = 80 GPa
d = mm
5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis
σx​ = 20σy​ = 70MPaτxy​ = ?

Taške σₓ = 20 MPa ir σᵧ = 70 MPa. Kokio didumo gali būti tangentinis įtempis τxy, kol didžiausias pagrindinis įtempis pasieks 90 MPa?

σx = 20 MPaσy = 70 MPaσ1 = 90 MPa
τxy = MPa
6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus
σx​ = 10σy​ = 70τxy​ = 30MPa

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 10 MPa, σᵧ = 70 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (σz = 0). Medžiagos takumo riba 460 MPa. Raskite atsargos koeficientą n takumo atžvilgiu pagal fon Mizeso (formos keitimo energijos) kriterijų.

σx = 10 MPaσy = 70 MPaτxy = 30 MPaσY = 460 MPa
n =
7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis
80 kNØ30110 GPaØ120/60300 mmδ = ?

plienas strypas (skersmuo 30 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš bronza (išorinis skersmuo 120 mm, vidinis skersmuo 60 mm, E = 110 GPa). Abu 300 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 80 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 80 kNstrypas: Ø30 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 300 mm
δ = mm
8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus
Ø 35 mmPlienas2 mØ 16 mmVaris2 mP = 90 kN

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite didžiausią normalinį įtempį σmax strype.

P = 90 kN1 ruožas: Ø35 mm, 2 m, plienas (E = 200 GPa)2 ruožas: Ø16 mm, 2 m, varis (E = 117 GPa)
σmax = MPa
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 1 m20 × 40 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 1 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 20 × 40 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
P = 100 kNL = 3 md = ?skerspjūvis

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Ji turi atlaikyti 100 kN su 3 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 100 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)
d = mm
11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis
tx15 mm3 ciklai0,9 mm

Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 15 mm poslinkio amplitudės po 3 ciklų seka 0,9 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

x0 = 15 mmx3 = 0,9 mmn = 3
ζ =
12.Mechaniniai virpesiaiSunkus
k1​ = 20k2​ = 100k3​ = 30m = 5 kg

5 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 30 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 20 kN/m ir k₂ = 100 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį fn Hz.

m = 5 kgk1 = 20 kN/mk2 = 100 kN/mk3 = 30 kN/m
fn = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T2 = 54,9 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 2200/157,1 = 14,01 N·m

Išėjimo sukimo momentas

T2 = 14,01·48/12·0,98 = 54,9 N·m

Atsakymas

T2 = 54,9 N·m
2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: nout = 835,2 rpm

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Pirmoji pakopa

nB = 1450·20/25 = 1160 rpm = nC

Antroji pakopa

nout = 1160·18/25 = 835,2 rpm

Atsakymas

nout = 835,2 rpm

bendras perdavimo skaičius = 1,736 : 1

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 2,278 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π(75⁴ − 38⁴)/32 = 2,902 × 10⁶ mm⁴

Sukimo kampas

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 3 m = 3000 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·3000/(26000·2,902 × 10⁶) = 0,03977 rad
φ = 0,03977·180/π = 2,278°

Atsakymas

φ = 2,278°
4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 35,27 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 5000/31,42 = 159,2 N·m

Skersmuo pagal stiprumą

T = 159,2 N·m = 159155 N·mm
dτ = ∛(16·159155/(π·50)) = 25,31 mm

Skersmuo pagal standumą

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·159155/(π·80000·1,309 × 10⁻⁵))1/4 = 35,27 mm

Lemiamasis skersmuo

Turi būti tenkinamos abi sąlygos, todėl lemia didesnis skersmuo.

d = max(25,31, 35,27) = 35,27 mm

Atsakymas

d = 35,27 mm

Čia lemia standumas.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τxy = 37,42 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Reikiamas spindulys

C = (20 + 70)/2 = 45 MPa
R = σ1 − C = 90 − 45 = 45 MPa
στxyCσ1​σ2​

Tangentinis įtempis

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(45² − 25²) = 37,42 MPa

Atsakymas

τxy = 37,42 MPa
6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: n = 5,498

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Takumo kriterijai: pagal fon Mizesą takumas prasideda, kai σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) pasiekia σY; pagal Treską – kai absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis pasiekia σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Pagrindiniai įtempiai

C = 40 MPa, R = 42,43 MPa
σ1 = 82,43 MPa, σ2 = −2,426 MPa, σ3 = 0

Fon Mizesas

σvM = √(82,43² − 82,43·(−2,426) + (−2,426)²) = 83,67 MPa
n = 460/83,67 = 5,498

Atsakymas

n = 5,498

n > 1 reiškia, kad taške takumas neprasideda; Treskos kriterijus kiek konservatyvesnis nei fon Mizeso.

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,02234 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, Pi = P·EiAi/ΣEA, o σi = Ei·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·8482 = 1,074 × 10⁹ N

Sutrumpėjimas

δ = 80000·300/1,074 × 10⁹ = 0,02234 mm

Atsakymas

δ = 0,02234 mm
8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σmax = 447,6 MPa

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 93,54 MPa
σ2 = 447,6 MPa

Didžiausias įtempis

Plonesnio ruožo plotas mažesnis, todėl jame įtempis didesnis.

σmax = 447,6 MPa

Atsakymas

σmax = 447,6 MPa
9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 37,6 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

Imin = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/700² = 37598 N = 37,6 kN

Atsakymas

Pcr = 37,6 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 79,03 mm

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Reikiama kritinė jėga

Pcr = n·P = 3·100000 = 300000 N
KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 79,03 mm

Atsakymas

d = 79,03 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 106,3, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,1476

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritminis slopinimo dekrementas

δ = (1/3)·ln(15/0,9) = 0,9378

Slopinimo koeficientas

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,9378/√(39,48 + 0,8795) = 0,1476

Atsakymas

ζ = 0,1476
12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: fn = 11,03 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k1 ir k2. Ši pora nuosekliai sujungta su k3, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k12 = 20 + 100 = 120 kN/m
keq = 120·30/(120 + 30) = 24 kN/m

Savasis dažnis

ωn = √(24000/5) = 69,28 rad/s
fn = 69,28/(2π) = 11,03 Hz

Atsakymas

fn = 11,03 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design