Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

1,1 kW variklis, besisukantis 2900 rpm greičiu, suka slieką (pradų skaičius 1). Sliekratis turi 80 dantų, o pavaros naudingumo koeficientas 85%. Raskite išėjimo sukimo momentą T_w ant sliekračio veleno.

z = 1N_w = 80n = 2900 rpmP = 1,1 kWη = 85%

T_w = N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (18 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 1500 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (80 dantų). Krumpliaratis C (25 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (80 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį n_out.

n_in = 1500 rpmA = 18B = 80C = 25D = 80

n_out = rpm

3.Velenų sukimasVidutinis

Sukimo bandyme pilnaviduris bandinys, kurio skersmuo 15 mm, sukamas 50 N·m sukimo momentu. Abu 400 mm matavimo bazės galai vienas kito atžvilgiu pasisuka 5,91° (medžiaga dar tampri). Raskite medžiagos šlyties modulį G.

T = 50 N·md = 15 mmL = 400 mmφ = 5,91°

G = GPa

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (aliuminis), kurio skersmuo 30 mm, abiem galais A ir B įtvirtintas standžiose sienose. Taške C, 1,5 m atstumu nuo A ir 3 m atstumu nuo B, pridėtas 2000 N·m sukimo momentas. Raskite reakcijos sukimo momentą T_A sienoje A.

d = 30 mmT₀ = 2000 N·ma = 1,5 mb = 3 m

T_A = N·m

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 140 MPa, σᵧ = −50 MPa ir τₓᵧ = −40 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = 140 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −40 MPa

τ_max = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 20 MPa, σᵧ = −60 MPa ir τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). Medžiagos takumo riba 420 MPa. Raskite atsargos koeficientą n takumo atžvilgiu pagal Treskos (didžiausio tangentinio įtempio) kriterijų.

σ_x = 20 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Strypą sudaro plienas atkarpa (skersmuo 25 mm, ilgis 600 mm, E = 200 GPa), galais sujungta su atkarpa iš žalvaris (skersmuo 30 mm, ilgis 500 mm, E = 100 GPa). Vienas galas įtvirtintas, kitas traukiamas. Raskite ašinę apkrovą P, kuri jį iš viso pailgina 0,25 mm.

1 atkarpa: plienas, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: žalvaris, Ø30 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite didžiausią normalinį įtempį σ_max strype.

P = 110 kN1 ruožas: Ø30 mm, 1,5 m, žalvaris (E = 100 GPa)2 ruožas: Ø20 mm, 1,5 m, aliuminis (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (plienas)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Ji turi atlaikyti 80 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 80 kNn = 2,5L = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

80 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 40 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 1430 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 80 kgk = 40 kN/mc = 1430 N·s/m

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

10 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 40 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 25 kN/m ir k₂ = 25 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 10 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 25 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T_w = 246,3 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Sliekračio greitis

n_w = n·z/N_w = 2900·1/80 = 36,25 rpm

Išėjimo sukimo momentas

ω_w = 2π·36,25/60 = 3,796 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,85·1100/3,796 = 246,3 N·m

Atsakymas

T_w = 246,3 N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_out = 105,5 rpm

Pirmoji pakopa

n_B = 1500·18/80 = 337,5 rpm = n_C

Antroji pakopa

n_out = 337,5·25/80 = 105,5 rpm

Atsakymas

n_out = 105,5 rpm

bendras perdavimo skaičius = 14,22 : 1

3.Velenų sukimas

Atsakymas: G = 39,01 GPa

Polinis inercijos momentas ir kampas

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 5,91·π/180 = 0,1031 rad

Šlyties modulis

T = 50 N·m = 50000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 50000·400/(4970·0,1031) = 39012 MPa

G = 39,01 GPa

Atsakymas

G = 39,01 GPa

Palyginimui: plienas ≈ 80 GPa, žalvaris ≈ 39 GPa, aliuminis ≈ 26 GPa.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: T_A = 1333 N·m

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω. Kai abu galai įtvirtinti, vien statika duoda tik T_A + T_B = T₀; antroji lygtis yra suderinamumas (abiejų dalių vienodas sukimo kampas apkrautame skerspjūvyje).

Pusiausvyra ir suderinamumas

T_A + T_B = 2000

T_A·a = T_B·b

T_A = 2000·3/4,5 = 1333 N·m

T_B = 2000·1,5/4,5 = 666,7 N·m

Atsakymas

T_A = 1333 N·m

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 103,1 MPa

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((140 − −50)/2)² + −40²) = 103,1 MPa

Atsakymas

τ_max = 103,1 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: n = 5,093

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Takumo kriterijai: pagal fon Mizesą takumas prasideda, kai σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) pasiekia σ_Y; pagal Treską – kai absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis pasiekia σ_Y/2.

Pagrindiniai įtempiai

C = −20 MPa, R = 41,23 MPa

σ₁ = 21,23 MPa, σ₂ = −61,23 MPa, σ₃ = 0

Treska

σ_max − σ_min = 82,46 MPa

n = 420/82,46 = 5,093

Atsakymas

n = 5,093

n > 1 reiškia, kad taške takumas neprasideda; Treskos kriterijus kiek konservatyvesnis nei fon Mizeso.

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P = 18,96 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Lankstumai

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490,9) = 6,112 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·706,9) = 7,074 × 10⁻⁶ mm/N

Apkrova

P = 0,25/1,319 × 10⁻⁵ = 18961 N = 18,96 kN

Atsakymas

P = 18,96 kN

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ_max = 350,1 MPa

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 155,6 MPa

σ₂ = 350,1 MPa

Didžiausias įtempis

Plonesnio ruožo plotas mažesnis, todėl jame įtempis didesnis.

σ_max = 350,1 MPa

Atsakymas

σ_max = 350,1 MPa

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 4,205 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·3000 = 3000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/3000² = 4205 N = 4,205 kN

Atsakymas

P_cr = 4,205 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 98,56 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2,5·80000 = 200000 N

KL = 2·2000 = 4000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·200000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 98,56 mm

Atsakymas

d = 98,56 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 162,3, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,3997

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(40000·80) = 3578 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 1430/3578 = 0,3997

Atsakymas

ζ = 0,3997

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 7,503 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 25 + 25 = 50 kN/m

k_eq = 50·40/(50 + 40) = 22,22 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(22222/10) = 47,14 rad/s

f_n = 47,14/(2π) = 7,503 Hz

Atsakymas

f_n = 7,503 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design