Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Diržas juda ant 150 mm varančiojo skriemulio, kuris sukasi 720 rpm. Įtemptosios šakos įtempimas yra 800 N, laisvosios – 240 N. Raskite perduodamą galią P kW.

d₁ = 150 mmn₁ = 720 rpmT₁ = 800 NT₂ = 240 N

P = kW

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 125 mm ir 200 mm skriemulius, kurių ašys nutolusios 500 mm. Raskite apkabos kampą θ ant mažesniojo skriemulio laipsniais.

d₁ = 125 mmd₂ = 200 mmC = 500 mm

θ = °

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnavidurį 1,5 m ilgio veleną (plienas) veikia 250 N·m sukimo momentas. Sukimo kampas tarp jo galų negali viršyti 3°. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį šią sąlygą.

T = 250 N·mL = 1,5 mG = 80 GPaφ_allow = 3°

d = mm

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (plienas), kurio skersmuo 60 mm, įtvirtintas taške A. Taške B, 0,5 m atstumu nuo A, veikia 500 N·m sukimo momentas, o laisvajame gale C, dar 1,2 m toliau, veikia ta pačia kryptimi nukreiptas 500 N·m sukimo momentas. Raskite galo C sukimo kampo didumą φ_C laipsniais.

d = 60 mmT_B = 500 N·mT_C = 500 N·mAB = 0,5 mBC = 1,2 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 40 MPa, σᵧ = −60 MPa ir τₓᵧ = 20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_p nuo x ašies iki didžiausio pagrindinio įtempio krypties, intervale nuo −90° iki 90°.

σ_x = 40 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_p = °

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 60 MPa, σᵧ = −70 MPa ir τₓᵧ = −60 MPa (tempimas teigiamas). Raskite tangentinį įtempį τ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 20° pagal laikrodžio rodyklę nuo x ašies (teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σ_x = 60 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −60 MPaθ = -20°

τ_θ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (aliuminis) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 85 kNd = 25 mmL = 1 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite didžiausią normalinį įtempį σ_max strype.

P = 25 kN1 ruožas: Ø30 mm, 0,5 m, aliuminis (E = 70 GPa)2 ruožas: Ø12 mm, 1 m, varis (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 5 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

100 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 10 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 200 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 100 kgk = 10 kN/mc = 200 N·s/m

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

20 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 50 kN/m ir k₂ = 100 kN/m. Masė lieka horizontali. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 20 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 100 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 3,167 kW

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo greitis

v = 5,655 m/s

Galia

P = (800 − 240)·5,655 = 3167 W = 3,167 kW

Atsakymas

P = 3,167 kW

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: θ = 171,4 °

Diržo kampas

asin(0,075) = 4,301°

Apkabos kampas

θ = 180 − 2·4,301 = 171,4°

Atsakymas

θ = 171,4°

3.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 30,9 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Reikiamas polinis inercijos momentas

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 3·π/180 = 0,05236 rad

J = TL/(Gφ) = 250000·1500/(80000·0,05236) = 89525 mm⁴

Skersmuo

d = (32J/π)^1/4 = 30,9 mm

Atsakymas

d = 30,9 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: φ_C = 0,6192 °

Vidiniai sukimo momentai

T_C kryptis laikoma teigiama.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 500 + 500 = 1000 N·m

Kiekvieno ruožo sukimo kampas

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 1 × 10⁶·500/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,004912 rad

φ_BC = 500000·1200/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,005895 rad

Galo C sukimo kampas

φ_C = 0,004912 + 0,005895 = 0,01081 rad → |φ_C| = 0,6192°

Atsakymas

φ_C = 0,6192°

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_p = 10,9 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Kampas apskritime

Moro apskritime taškas x yra kampu 2θp nuo σ ašies; ketvirtis priklauso nuo σₓ − σᵧ ir τₓᵧ ženklų.

2θ_p = atan2(2·20, 40 − −60) = 21,8°

Kampas elemente

θ_p = 10,9°

Atsakymas

θ_p = 10,9°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_θ = −4,181 MPa

Transformacijos lygtis

τ_θ = −65·−0,6428 + −60·0,766 = −4,181 MPa

Atsakymas

τ_θ = −4,181 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 2,474 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 85·1000/490,9 = 173,2 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for aliuminis = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 173,2/70000 = 0,002474 = 2474 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,002474·1000 mm = 2,474 mm

Atsakymas

δ = 2,474 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ_max = 221 MPa

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 35,37 MPa

σ₂ = 221 MPa

Didžiausias įtempis

Plonesnio ruožo plotas mažesnis, todėl jame įtempis didesnis.

σ_max = 221 MPa

Atsakymas

σ_max = 221 MPa

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 141 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/1050² = 140994 N = 141 kN

Atsakymas

P_cr = 141 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 2,763 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/10 = 500

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/500² = 2,763 MPa

Atsakymas

σ_cr = 2,763 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,1

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(10000·100) = 2000 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 200/2000 = 0,1

Atsakymas

ζ = 0,1

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 150 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k₁ + k₂.

k_eq = 50 + 100 = 150 kN/m

Atsakymas

k_eq = 150 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design