Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

60 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 5,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.

v₀ = 60 km/ha = −5,5 m/s²v = 0

s = m

2.KinematikaSunkus

Tramvajus pajuda iš vietos ir 10 s greitėja 2 m/s² pagreičiu, tada 19 s važiuoja pastoviu greičiu ir galiausiai stabdo 3 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite visą kelionės trukmę t.

a₁ = 2 m/s²t₁ = 10 st₂ = 19 sa₃ = −3 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

30 kg rogės lygiu sniegu tempiamos lynu, sudarančiu 15° kampą virš horizontalės, 130 N jėga. Kinetinės trinties koeficientas 0,4. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite rogių pagreitį a.

m = 30 kgF = 130 Nθ = 15°μ = 0,4g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

6,5 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 5 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 6,5 kgm₂ = 5 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės spiriamas 38 m/s greičiu 60° kampu virš horizontalės link sienos, esančios 102 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y kamuolys praskrenda pro sieną?

v₀ = 38 m/sθ = 60°x = 102 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 50° kampu į horizontą nuo 50 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 31 m/sθ = 50°h = 50 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 125 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 125 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

0,3 kg rutuliukas ant 0,9 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 6,5 m/s. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T žemiausiame taške.

m = 0,3 kgr = 0,9 mv = 6,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

Žaislinis paleidiklis turi vertikalią 800 N/m standumo spyruoklę. Ant jos padedamas 0,05 kg rutuliukas, spyruoklė suspaudžiama 4 cm ir atleidžiama. Nepaisydami oro pasipriešinimo ir spyruoklės masės, raskite aukštį h, į kurį pakyla rutuliukas, matuojant nuo jo padėties suspaudus spyruoklę.

m = 0,05 kgk = 800 N/mx = 4 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Darbas ir energijaSunkus

15° šlaito apačioje esanti 1000 N/m standumo spyruoklė suspaudžiama 8 cm prie 2 kg kaladėlės ir atleidžiama. Kinetinės trinties tarp kaladėlės ir šlaito koeficientas 0,15. Kokį atstumą d aukštyn šlaitu nuo paleidimo taško kaladėlė nuslenka, kol sustoja? (Nepaisykite trumpo atstumo, kuriame stumia spyruoklė, t. y. trintį ir sunkio jėgą imkite visame atstume d.)

m = 2 kgk = 1000 N/mx = 8 cmθ = 15°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

d = m

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

1,5 kg vežimėlis, judantis 6 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 3 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite pirmojo vežimėlio greitį v′₁ po susidūrimo (teigiamą jo pradine judėjimo kryptimi).

m₁ = 1,5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,35 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 9 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 13 m/s greičiu. Sąlytis trunka 20 ms. Raskite vidutinę jėgą F_avg, kuria siena veikia kamuolį.

m = 0,35 kgv_in = 9 m/sv_out = 13 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Matematinės švytuoklės ilgis – 1,1 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jos periodą T, kai svyravimai maži.

L = 1,1 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

10 g kulka, lekianti 350 m/s greičiu, pataiko į 2 kg tašelį, gulintį ant paviršiaus be trinties, ir jame įstringa. Tašelis pritvirtintas prie horizontalios spyruoklės, kurios k = 1600 N/m. Raskite atsiradusių svyravimų amplitudę A cm.

m = 10 gv = 350 m/sM = 2 kgk = 1600 N/m

A = cm

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

440 Hz dažnio šaltinis, judantis 20 m/s greičiu, ir stebėtojas, judantis 10 m/s greičiu, tolsta vienas nuo kito. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite stebėtojo girdimą dažnį f′.

f = 440 Hzv = 343 m/sv_s = 20 m/sv_o = 10 m/s

f′ = Hz

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

600 nm bangos ilgio šviesa praeina pro 0,15 mm pločio vieną plyšį. Raskite tamsaus ruožo, kurio numeris 2, kampą θ₂ nuo tiesios krypties.

λ = 600 nma = 0,15 mmm = 2

θ₂ = °

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: s = 25,25 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 60/3,6 = 16,67 m/s

Stabdymo kelias

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16,67²/(2·5,5) = 25,25 m

Atsakymas

s = 25,25 m

2.Kinematika

Atsakymas: t = 35,67 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Didžiausias greitis

v = a₁·t₁ = 2·10 = 20 m/s

Stabdymo trukmė

t₃ = v/a₃ = 20/3 = 6,667 s

Bendra trukmė

t = 10 + 19 + 6,667 = 35,67 s

Atsakymas

t = 35,67 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 0,7103 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Normalinė jėga

N = m·g − F·sin θ = 294,3 − 130·sin 15° = 260,7 N

Horizontaliosios jėgos

m·a = F·cos θ − μ·N = 125,6 − 104,3

a = 21,31/30 = 0,7103 m/s²

Atsakymas

a = 0,7103 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 36,04 N

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49,05 − 19,13)/11,5 = 2,602 m/s²

Įtempimo jėga iš kūno ant stalo lygties

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6,5·2,602 + 19,13 = 36,04 N

Atsakymas

T = 36,04 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: y = 35,31 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Laikas iki sienos

v_x = 38·cos 60° = 19 m/s

t = x/v_x = 102/19 = 5,368 s

Aukštis tuo momentu

y = 32,91·5,368 − ½·9,81·5,368² = 35,31 m

Atsakymas

y = 35,31 m

Prie sienos kamuolys jau leidžiasi žemyn.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 128,1 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 31·cos 50° = 19,93 m/s

v_y = v₀·sin θ = 31·sin 50° = 23,75 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 50 + 23,75·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (23,75 + √(563,9 + 981))/9,81 = 6,427 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 19,93·6,427 = 128,1 m

Atsakymas

x = 128,1 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 19,18 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·125) = 19,18 m/s

Atsakymas

v_max = 19,18 m/s (69,05 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 17,03 N

Jėgos žemiausiame taške

Į centrą (aukštyn) – teigiama kryptis.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,3·9,81 + 0,3·6,5²/0,9 = 2,943 + 14,08 = 17,03 N

Atsakymas

T = 17,03 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: h = 1,305 m

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Spyruoklės energija

x = 4 cm = 0,04 m

½kx² = ½·800·0,04² = 0,64 J

Aukštis

m·g = 0,05·9,81 = 0,4905 N

h = ½kx²/(mg) = 0,64/0,4905 = 1,305 m

Atsakymas

h = 1,305 m

10.Darbas ir energija

Atsakymas: d = 0,404 m

Spyruoklės energija

x = 8 cm = 0,08 m

½kx² = ½·1000·0,08² = 3,2 J

Energijos balansas nuokalne

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 3,2/(19,62·(0,2588 + 0,15·0,9659)) = 0,404 m

Atsakymas

d = 0,404 m

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₁ = −2 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (1,5 − 3)/(1,5 + 3)·6 = −2 m/s

v′₂ = 2·1,5/(1,5 + 3)·6 = 4 m/s

Atsakymas

v′₁ = −2 m/s

Minuso ženklas reiškia, kad pirmasis vežimėlis atšoka atgal.

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: F_avg = 385 N

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,35·(13 + 9) = 7,7 N·s

Vidutinė jėga

F_avg = J/Δt = 7,7/0,02 = 385 N

Atsakymas

F_avg = 385 N

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: T = 2,104 s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Švytuoklės periodas

T = 2π·√(1,1/9,81) = 2,104 s

Atsakymas

T = 2,104 s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: A = 6,172 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Greitis po smūgio

V = m·v/(m + M) = 0,01·350/2,01 = 1,741 m/s

Kampinis dažnis

ω = √(k/(m + M)) = √(1600/2,01) = 28,21 rad/s

Amplitudė

A = V/ω = 1,741/28,21 = 0,06172 m = 6,172 cm

Atsakymas

A = 6,172 cm

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f′ = 403,6 Hz

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Doplerio formulė

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 440·(343 − 10)/(343 + 20)

f′ = 403,6 Hz

Atsakymas

f′ = 403,6 Hz

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: θ₂ = 0,4584 °

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Tamsaus ruožo sąlyga

sin θ = mλ/a = 0,008

θ = 0,4584°

Atsakymas

θ₂ = 0,4584°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics