Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

45 km/h greičiu važiuojanti vairuotoja pamato kliūtį. Jos reakcijos laikas 0,6 s, po kurio automobilis stabdo pastoviu 5,5 m/s² lėtėjimu. Raskite visą stabdymo kelią d nuo momento, kai ji pamato kliūtį.

v₀ = 45 km/ht_r = 0,6 sa = −5,5 m/s²

d = m

2.KinematikaSunkus

Kamuolys A be pradinio greičio numetamas iš 25 m aukščio. Tuo pačiu metu kamuolys B tiesiai po juo nuo žemės išmetamas vertikaliai aukštyn 28 m/s greičiu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y virš žemės jie susitinka?

H = 25 mv_0B = 28 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

Dėžė slysta lygiomis grindimis 9 m/s pradiniu greičiu ir sustoja nuslydusi 83 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kinetinės trinties koeficientą μ.

v₀ = 9 m/sd = 83 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Niutono dėsniaiSunkus

5 kg kaladėlė ant 20° rampos lengvu siūlu per skridinį be trinties rampos viršuje sujungta su kabančiu 7 kg kroviniu. Kabantis krovinys juda žemyn. Rampa be trinties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.

m₁ = 5 kgm₂ = 7 kgθ = 20°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės spiriamas 24 m/s greičiu 50° kampu virš horizontalės link sienos, esančios 40 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y kamuolys praskrenda pro sieną?

v₀ = 24 m/sθ = 50°x = 40 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 32 m/s greičiu 25° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 25 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiu kampu α žemiau horizontalės jis atsitrenkia į žemę?

v₀ = 32 m/sθ = 25°h = 25 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 70 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 70 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

100 m spindulio posūkis turi 15° posvyrį, o statinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį nenuslysdamas aukštyn ir į išorę.

r = 100 mθ = 15°μ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

10 kg kūnas nuslysta 16 m nuokalne, pasvirusia 25° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,35. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 10 kgθ = 25°μ = 0,35d = 16 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

5 kg kaladėlė iš rimties būsenos 15° šlaito apačioje traukiama aukštyn šlaitu pastovia 30 N jėga, lygiagrečia šlaitui. Kinetinės trinties koeficientas 0,2. Raskite kaladėlės greitį v, kai ji pasislenka 3 m aukštyn šlaitu.

m = 5 kgF = 30 Nθ = 15°μ = 0,2d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

5 g kulka horizontaliai įšaunama į 3 kg medinį tašelį, kabantį ant lengvų siūlų, ir jame įstringa. Tašelis atsilenkia ir pakyla 4 cm aukščiau nei pradžioje. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 5 gM = 3 kgh = 4 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

15 g kulka horizontaliai įšaunama į 2,5 kg tašelį, kabantį ant lengvų 2 m ilgio siūlų, ir jame įstringa. Siūlai atsilenkia didžiausiu 15° kampu nuo vertikalės. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 15 gM = 2,5 kgL = 2 mθ = 15°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

2,7 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 360 N/m, atitraukiamas 9 cm teigiama kryptimi ir momentu t = 0 paleidžiamas be pradinio greičio. Raskite jo poslinkį x nuo pusiausvyros padėties momentu t = 0,3 s (su ženklu).

m = 2,7 kgk = 360 N/mA = 9 cmt = 0,3 s

x = cm

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

2,7 kg krovinys pritvirtinamas prie neištemptos vertikalios spyruoklės, kurios k = 320 N/m, apatinio galo ir paleidžiamas be pradinio greičio. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią spyruoklės pailgėjimą x_max cm.

m = 2,7 kgk = 320 N/mg = 9,81 m/s²

x_max = cm

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Skaidraus bloko viduje šviesa visiškai atsispindi ties riba su terpe „vanduo“ (n = 1,33) esant bet kuriam kritimo kampui, didesniam nei 24,4°. Raskite bloko lūžio rodiklį n₁.

θ_c = 24,4°n₂ = 1,33

n₁ =

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Daiktas yra 8 cm atstumu prieš veidrodį (įgaubtas), kurio kreivumo spindulys 20 cm. Raskite vaizdo atstumą d_i, teigiamą vaizdui prieš veidrodį (tikrasis) ir neigiamą vaizdui už jo (menamasis).

d_o = 8 cmR = 20 cm

d_i = cm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: d = 21,7 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienetai

v₀ = 45/3,6 = 12,5 m/s

Reakcijos kelias

d₁ = v₀·t_r = 12,5·0,6 = 7,5 m

Stabdymo kelias

d₂ = v₀²/(2a) = 12,5²/(2·5,5) = 14,2 m

Iš viso

d = 7,5 + 14,2 = 21,7 m

Atsakymas

d = 21,7 m

2.Kinematika

Atsakymas: y = 21,09 m

Susitikimo laikas

Teigiama kryptis aukštyn, žemė – y = 0.

25 − ½g·t² = 28·t − ½g·t² → t = 25/28 = 0,8929 s

Susitikimo aukštis

y = 28·0,8929 − ½·9,81·0,8929² = 21,09 m

Atsakymas

y = 21,09 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: μ = 0,04974

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Lėtėjimas

a = v₀²/(2d) = 9²/(2·83) = 0,488 m/s²

Trinties koeficientas

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0,488/9,81 = 0,04974

Atsakymas

μ = 0,04974

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 4,324 m/s²

Jėgos išilgai siūlo

m₂·g = 68,67 N

m₁·g·sin θ = 16,78 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

Sistemos pagreitis

a = (68,67 − 16,78 − 0)/12 = 4,324 m/s²

Atsakymas

a = 4,324 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: y = 14,69 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Laikas iki sienos

v_x = 24·cos 50° = 15,43 m/s

t = x/v_x = 40/15,43 = 2,593 s

Aukštis tuo momentu

y = 18,39·2,593 − ½·9,81·2,593² = 14,69 m

Atsakymas

y = 14,69 m

Prie sienos kamuolys jau leidžiasi žemyn.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: α = 41,82 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 32·cos 25° = 29 m/s

v_y0 = 32·sin 25° = 13,52 m/s

Vertikalusis greitis atsitrenkiant

Energija arba v² = v₀² + 2as vertikaliąja kryptimi.

v_y = √(13,52² + 2·9,81·25) = 25,95 m/s

Atsitrenkimo kampas

tan α = v_y/v_x = 25,95/29 → α = 41,82°

Atsakymas

α = 41,82°

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 14,35 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·70) = 14,35 m/s

Atsakymas

v_max = 14,35 m/s (51,67 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 24,61 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Jėgų pusiausvyros

Trintis nukreipta žemyn šlaitu.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Greitis

v = √(100·9,81·0,5486/0,8883) = 24,61 m/s

Atsakymas

v_max = 24,61 m/s

(88,61 km/h)

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 497,9 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 98,1·0,9063 = 88,91 N

F = μN = 0,35·88,91 = 31,12 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 31,12·16 = 497,9 J

Atsakymas

W_f = 497,9 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 3,065 m/s

Jėgos išilgai nuokalnės

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

mg·sin θ = 12,7 N

μ·mg·cos θ = 9,476 N

Darbas ir energija

½mv² = (30 − 22,17)·3 = 23,49 J

v = √(2·23,49/5) = 3,065 m/s

Atsakymas

v = 3,065 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 532,4 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Atsilenkimas po smūgio

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,04) = 0,8859 m/s

Susidūrimas

m·v = (m + M)·V → v = (0,005 + 3)·0,8859/0,005 = 532,4 m/s

Atsakymas

v = 532,4 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 193,9 m/s

Tašelio pakilimas

h = L·(1 − cos θ) = 2·(1 − cos 15°) = 0,06815 m

Greitis po smūgio

V = √(2·9,81·0,06815) = 1,156 m/s

Susidūrimas

v = (m + M)·V/m = 2,515·1,156/0,015 = 193,9 m/s

Atsakymas

v = 193,9 m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: x = −8,536 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(360/2,7) = 11,55 rad/s

ω·t = 11,55·0,3 = 3,464 rad

Poslinkis

x = A·cos(ω·t) = 9·cos(3,464) = −8,536 cm

Atsakymas

x = −8,536 cm

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: x_max = 16,55 cm

Pusiausvyra ir amplitudė

x₀ = m·g/k = 2,7·9,81/320 = 0,08277 m = A

Žemiausias taškas

x_max = 2A = 0,1655 m = 16,55 cm

Atsakymas

x_max = 16,55 cm

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: n₁ = 3,22

Geometrinė optika: ties riba n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelio dėsnis), kampai matuojami nuo normalės, o n = c/v. Patekęs į lėtesnę terpę spindulys lūžta normalės link. Iš tankesnės terpės (n₁ > n₂) už ribinio kampo θ_c = arcsin(n₂/n₁) visa šviesa atsispindi: visiškasis vidaus atspindys. Plonieji lęšiai ir sferiniai veidrodžiai paklūsta lygčiai 1/f = 1/d_o + 1/d_i su didinimu m = −d_i/d_o. Ženklų susitarimas: f > 0 glaudžiamajam lęšiui ir įgaubtam veidrodžiui (f = R/2), f < 0 sklaidomajam lęšiui ir iškiliam veidrodžiui; d_i > 0 tikrajam vaizdui, d_i < 0 menamajam, o m < 0 apverstam vaizdui.

Bloko lūžio rodiklis

n₁ = n₂/sin θc = 1,33/0,4131 = 3,22

Atsakymas

n₁ = 3,22

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: d_i = −40 cm

Židinio nuotolis

f = R/2 = 10 cm

Veidrodžio lygtis

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/8

d_i = −40 cm

Spindulių diagrama

menamas vaizdas už veidrodžio

Atsakymas

d_i = −40 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics