Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Pastoviu 21 m/s greičiu lekiantis automobilis pravažiuoja stovintį policijos automobilį. Tuo momentu policijos automobilis pajuda ir tolygiai greitėja 2,5 m/s² pagreičiu. Kokiu atstumu nuo savo pradinio taško policijos automobilis pasiveja? Raskite d.

v_car = 21 m/sa_police = 2,5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.KinematikaSunkus

Akmuo be pradinio greičio numetamas į šulinį. Pliūpsnis išgirstamas praėjus 2,6 s nuo akmens paleidimo. Garso greitis 343 m/s; nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite šulinio gylį d.

t_total = 2,6 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

13 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 40° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,15. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 13 kgθ = 40°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

6,5 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 4 kg kroviniu. Stalas be trinties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 6,5 kgm₂ = 4 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 55° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite skrydžio laiką t, kol kamuolys atsitrenks į žemę.

v₀ = 38 m/sθ = 55°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 17 m/s greičiu 50° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 55 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite greitį v, kuriuo jis atsitrenkia į žemę.

v₀ = 17 m/sθ = 50°h = 55 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

340 m spindulio posūkis turi 10° posvyrį. Kokiu greičiu v automobilis gali jį įveikti visai be trinties? Imkite g = 9,81 m/s².

r = 340 mθ = 10°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

2 kg vežimėlis be pradinio greičio paleidžiamas 36,75 m aukštyje ant bėgio be trinties ir pervažiuoja vertikalią 7,5 m spindulio kilpą. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite normalinę jėgą N_bottom, kuria bėgis veikia vežimėlį kilpos apačioje.

m = 2 kgh = 36,75 mR = 7,5 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

Kūnas be pradinio greičio slysta nuokalne, pasvirusia 30° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,25. Raskite jo greitį v, nuslydus 3 m nuokalne.

θ = 30°μ = 0,25d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Darbas ir energijaSunkus

5 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 2 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 5 m ilgio juostą (μ = 0,25) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 1000 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite didžiausią spyruoklės suspaudimą x.

m = 5 kgh = 2 mL = 5 mμ = 0,25k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

4 kg sviedinys, horizontaliai judantis 11 m/s greičiu, sprogsta į dvi skeveldras, kurios juda ta pačia tiese. 1 kg skeveldra toliau juda pirmyn 16 m/s greičiu. Raskite 3 kg skeveldros greitį v′₂ (teigiamas pradine kryptimi).

M = 4 kgu = 11 m/sm₁ = 1 kgv′₁ = 16 m/sm₂ = 3 kg

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,4 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 10 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 10 m/s greičiu. Sąlytis trunka 40 ms. Raskite vidutinę jėgą F_avg, kuria siena veikia kamuolį.

m = 0,4 kgv_in = 10 m/sv_out = 10 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

1 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 20 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 18 cm amplitude. Raskite jo greitį v, kai jis yra 16 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

m = 1 kgk = 20 N/mA = 18 cmx = 16 cm

v = m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

1 kg krovinys pritvirtinamas prie neištemptos vertikalios spyruoklės, kurios k = 180 N/m, apatinio galo ir paleidžiamas be pradinio greičio. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią krovinio greitį v_max.

m = 1 kgk = 180 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Viename gale uždarytas vamzdis turi turėti, kad jo 5-osios harmonikos dažnis būtų 858 Hz. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite vamzdžio ilgį L.

v = 343 m/sn = 5f₅ = 858 Hz

L = m

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Stovintis stovėjimo jutiklis siunčia 35 kHz ultragarsą į automobilį, tolstantį 15 m/s greičiu. Raskite jutiklio gaunamo aido dažnį f″ (garso greitis 343 m/s).

f = 35 kHzu = 15 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: d = 352,8 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienodi atstumai

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·21/2,5 = 16,8 s

Kelias

d = v·t = 21·16,8 = 352,8 m

Atsakymas

d = 352,8 m

Tuo momentu policijos automobilis juda greičiu 2v = 42 m/s.

2.Kinematika

Atsakymas: d = 30,9 m

Dvi laiko dalys

½·9,81·t₁² = 343·(2,6 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 891,8 = 0

Kritimo trukmė

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·891,8))/(2·4,905) = 2,51 s

Gylis

d = ½·9,81·2,51² = 30,9 m

Atsakymas

d = 30,9 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 5,179 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 40° − 0,15·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0,1149) = 5,179 m/s²

Atsakymas

a = 5,179 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 24,29 N

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39,24 − 0)/10,5 = 3,737 m/s²

Įtempimo jėga iš kūno ant stalo lygties

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6,5·3,737 + 0 = 24,29 N

Atsakymas

T = 24,29 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: t = 6,346 s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 38·cos 55° = 21,8 m/s

v_y = v₀·sin θ = 38·sin 55° = 31,13 m/s

Skrydžio laikas

Pradžia ir nusileidimas tame pačiame aukštyje: t = 2v_y/g.

t = 2·31,13/9,81 = 6,346 s

Atsakymas

t = 6,346 s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: v = 36,99 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 17·cos 50° = 10,93 m/s

v_y0 = 17·sin 50° = 13,02 m/s

Vertikalusis greitis atsitrenkiant

Energija arba v² = v₀² + 2as vertikaliąja kryptimi.

v_y = √(13,02² + 2·9,81·55) = 35,34 m/s

Greitis atsitrenkiant

v = √(10,93² + 35,34²) = 36,99 m/s

Atsakymas

v = 36,99 m/s

Patikrinkite energija: v² = v₀² + 2gh.

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v = 24,25 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Jėgų pusiausvyra

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Greitis

v = √(r·g·tan θ) = √(340·9,81·tan 10°) = 24,25 m/s

Atsakymas

v = 24,25 m/s

(87,3 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: N_bottom = 211,9 N

Greitis iš energijos tvermės

v² = 2·9,81·36,75 = 721 m²/s²

Jėgos

Teigiama kryptis į centrą.

N = m·v²/R + m·g = 2·721/7,5 + 19,62 = 211,9 N

Atsakymas

N_bottom = 211,9 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 4,085 m/s

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Energijos balansas nuokalne

Kūnas nusileidžia d·sin θ aukščiu, o trintis atima μmg·cos θ·d. Masė susiprastina.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·3·(0,5 − 0,25·0,866)) = 4,085 m/s

Atsakymas

v = 4,085 m/s

10.Darbas ir energija

Atsakymas: x = 27,12 cm

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 49,05·(2 − 0,25·5) = 36,79 J

Didžiausias suspaudimas

½kx² = 36,79 → x = √(2·36,79/1000) = 0,2712 m = 27,12 cm

Atsakymas

x = 27,12 cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = 9,333 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Judesio kiekis prieš

p = M·u = 4·11 = 44 kg·m/s

Judesio kiekis po

44 = 1·16 + 3·v′₂

v′₂ = (44 − 16)/3 = 9,333 m/s

Atsakymas

v′₂ = 9,333 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: F_avg = 200 N

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,4·(10 + 10) = 8 N·s

Vidutinė jėga

F_avg = J/Δt = 8/0,04 = 200 N

Atsakymas

F_avg = 200 N

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v = 0,3688 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(20/1) = 4,472 rad/s

Greitis taške x

v = ω·√(A² − x²) = 4,472·√(0,18² − 0,16²) = 0,3688 m/s

Atsakymas

v = 0,3688 m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v_max = 0,7312 m/s

Pusiausvyra ir amplitudė

x₀ = m·g/k = 1·9,81/180 = 0,0545 m = A

Didžiausias greitis

Greitis didžiausias pusiausvyros padėtyje.

ω = √(180/1) = 13,42 rad/s

v_max = A·ω = 0,0545·13,42 = 0,7312 m/s

Atsakymas

v_max = 0,7312 m/s

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: L = 0,4997 m

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Bangos ilgis

λ = v/f = 343/858 = 0,3998 m

Ilgis

L = nλ/4 = 5·0,3998/4 = 0,4997 m

Atsakymas

L = 0,4997 m

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f″ = 32067 Hz

Dažnis prie automobilio

f′ = 35000·(343 − 15)/343 = 33469 Hz

Aido dažnis

f″ = f′·343/(343 + 15) = 32067 Hz

Atsakymas

f″ = 32067 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics