Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

108 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 5,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.

v₀ = 108 km/ha = −5,5 m/s²v = 0

s = m

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 18 m/s greičiu nuo stogo, esančio 20 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Po kiek laiko nuo metimo jis nukris ant žemės? Raskite t.

v₀ = 18 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

13 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 35° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 13 kgθ = 35°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

4 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 5,5 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.

m₁ = 4 kgm₂ = 5,5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 55° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite skrydžio laiką t, kol kamuolys atsitrenks į žemę.

v₀ = 40 m/sθ = 55°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 25° kampu į horizontą nuo 45 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 23 m/sθ = 25°h = 45 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 135 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 135 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

0,5 kg rutuliukas ant 1,1 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 8 m/s. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T žemiausiame taške.

m = 0,5 kgr = 1,1 mv = 8 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

1000 kg automobilis važiuoja į 3° šlaitą pastoviu 72 km/h greičiu. Oro ir riedėjimo pasipriešinimas kartu sudaro 650 N. Raskite galią P, kurią turi perduoti ratai (kW).

m = 1000 kgθ = 3°F_r = 650 Nv = 72 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Darbas ir energijaSunkus

35° šlaito apačioje esanti 1000 N/m standumo spyruoklė suspaudžiama 12 cm prie 2 kg kaladėlės ir atleidžiama. Kinetinės trinties tarp kaladėlės ir šlaito koeficientas 0,1. Kokį atstumą d aukštyn šlaitu nuo paleidimo taško kaladėlė nuslenka, kol sustoja? (Nepaisykite trumpo atstumo, kuriame stumia spyruoklė, t. y. trintį ir sunkio jėgą imkite visame atstume d.)

m = 2 kgk = 1000 N/mx = 12 cmθ = 35°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

d = m

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

1600 kg automobilis, judantis 14 m/s greičiu, atsitrenkia į stovintį 1200 kg automobilį, ir abu sukimba. Kiek kinetinės energijos ΔK prarandama susidūrimo metu?

m₁ = 1600 kgv₁ = 14 m/sm₂ = 1200 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

2000 kg automobilis atsitrenkia į stovintį 1500 kg automobilį. Sukibę automobiliai nuslysta 13 m ir sustoja. Kinetinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,75. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite pirmojo automobilio greitį v₁ prieš pat susidūrimą.

m₁ = 2000 kgm₂ = 1500 kgd = 13 mμ = 0,75g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Matematinės švytuoklės ilgis – 0,3 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jos periodą T, kai svyravimai maži.

L = 0,3 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

4 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 300 N/m, atitraukiamas 13 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite visą svyravimų energiją E.

m = 4 kgk = 300 N/mA = 13 cm

E = J

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Skaidraus bloko viduje šviesa visiškai atsispindi ties riba su terpe „krištolinis stiklas“ (n = 1,50) esant bet kuriam kritimo kampui, didesniam nei 42°. Raskite bloko lūžio rodiklį n₁.

θ_c = 42°n₂ = 1,50

n₁ =

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

550 nm bangos ilgio šviesa krinta į du plyšius, nutolusius 0,3 mm. Ekranas yra 2,5 m atstumu. Raskite tarpą Δy tarp gretimų šviesių ruožų.

λ = 550 nmd = 0,3 mmL = 2,5 m

Δy = mm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: s = 81,82 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

Stabdymo kelias

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·5,5) = 81,82 m

Atsakymas

s = 81,82 m

2.Kinematika

Atsakymas: t = 4,563 s

Judėjimo lygtis

Aukštyn – teigiama kryptis, žemė yra h₀ žemiau pradinio taško.

−20 = 18·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 18·t − 20 = 0

Išspręskite kvadratinę lygtį

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t = (18 + √(18² + 2·9,81·20))/9,81 = 4,563 s

Atsakymas

t = 4,563 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 3,216 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 35° − 0,3·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0,2457) = 3,216 m/s²

Atsakymas

a = 3,216 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 4,853 m/s²

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53,96 − 7,848)/9,5 = 4,853 m/s²

Atsakymas

a = 4,853 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: t = 6,68 s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 40·cos 55° = 22,94 m/s

v_y = v₀·sin θ = 40·sin 55° = 32,77 m/s

Skrydžio laikas

Pradžia ir nusileidimas tame pačiame aukštyje: t = 2v_y/g.

t = 2·32,77/9,81 = 6,68 s

Atsakymas

t = 6,68 s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 87,08 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 25° = 20,85 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 25° = 9,72 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 45 + 9,72·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9,72 + √(94,48 + 882,9))/9,81 = 4,178 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 20,85·4,178 = 87,08 m

Atsakymas

x = 87,08 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 19,93 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·135) = 19,93 m/s

Atsakymas

v_max = 19,93 m/s (71,76 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 34 N

Jėgos žemiausiame taške

Į centrą (aukštyn) – teigiama kryptis.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,5·9,81 + 0,5·8²/1,1 = 4,905 + 29,09 = 34 N

Atsakymas

T = 34 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: P = 23,27 kW

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d). Galia lygi jėgos ir greičio sandaugai: P = F·v.

Varomoji jėga

m·g = 1000·9,81 = 9810 N

mg·sin θ = 9810·sin 3° = 513,4 N

F = 513,4 + 650 = 1163 N

Galia

v = 72/3,6 = 20 m/s

P = F·v = 1163·20 = 23268 W = 23,27 kW

Atsakymas

P = 23,27 kW

10.Darbas ir energija

Atsakymas: d = 0,5598 m

Spyruoklės energija

x = 12 cm = 0,12 m

½kx² = ½·1000·0,12² = 7,2 J

Energijos balansas nuokalne

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 7,2/(19,62·(0,5736 + 0,1·0,8192)) = 0,5598 m

Atsakymas

d = 0,5598 m

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: ΔK = 67200 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Bendras greitis

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1600·14/2800 = 8 m/s

Kinetinė energija prieš ir po

K_before = ½·1600·14² = 156800 J

K_after = ½·2800·8² = 89600 J

Prarasta energija

ΔK = 156800 − 89600 = 67200 J

Atsakymas

ΔK = 67200 J

Prarasta energija virsta deformacija, šiluma ir garsu.

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v₁ = 24,2 m/s

Greitis po susidūrimo

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,75·9,81·13) = 13,83 m/s

Judesio kiekis susidūrimo metu

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3500·13,83/2000 = 24,2 m/s

Atsakymas

v₁ = 24,2 m/s

(87,13 km/h)

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: T = 1,099 s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Švytuoklės periodas

T = 2π·√(0,3/9,81) = 1,099 s

Atsakymas

T = 1,099 s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: E = 2,535 J

Kampinis dažnis

ω = √(300/4) = 8,66 rad/s

Energija

E = ½·k·A² = ½·300·0,13² = 2,535 J

Atsakymas

E = 2,535 J

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: n₁ = 2,242

Geometrinė optika: ties riba n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelio dėsnis), kampai matuojami nuo normalės, o n = c/v. Patekęs į lėtesnę terpę spindulys lūžta normalės link. Iš tankesnės terpės (n₁ > n₂) už ribinio kampo θ_c = arcsin(n₂/n₁) visa šviesa atsispindi: visiškasis vidaus atspindys. Plonieji lęšiai ir sferiniai veidrodžiai paklūsta lygčiai 1/f = 1/d_o + 1/d_i su didinimu m = −d_i/d_o. Ženklų susitarimas: f > 0 glaudžiamajam lęšiui ir įgaubtam veidrodžiui (f = R/2), f < 0 sklaidomajam lęšiui ir iškiliam veidrodžiui; d_i > 0 tikrajam vaizdui, d_i < 0 menamajam, o m < 0 apverstam vaizdui.

Bloko lūžio rodiklis

n₁ = n₂/sin θc = 1,50/0,6691 = 2,242

Atsakymas

n₁ = 2,242

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: Δy = 4,583 mm

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Ruožų tarpas

Δy = λL/d = 550 × 10⁻⁹·2,5/(0,3 × 10⁻³) = 4,583 mm

Atsakymas

Δy = 4,583 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics