Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Lėktuvui pakilti reikia 180 km/h greičio, o naudojamo pakilimo tako ilgis 1000 m. Kokio pastovaus pagreičio a jam reikia, pradedant iš vietos?

v₀ = 0v = 180 km/hs = 1000 m

a = m/s²

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 5 m/s greičiu nuo stogo, esančio 10 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį h_max virš žemės.

v₀ = 5 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

2 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 20° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 2 kgθ = 20°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

Kaladėlė stumtelima taip, kad ji pradeda slysti aukštyn 15° rampa 4,5 m/s greičiu. Kinetinės trinties koeficientas 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Kokį atstumą d rampa ji nuslysta, kol sustoja?

v₀ = 4,5 m/sθ = 15°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės spiriamas 20 m/s greičiu 70° kampu virš horizontalės link sienos, esančios 10 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y kamuolys praskrenda pro sieną?

v₀ = 20 m/sθ = 70°x = 10 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 60° kampu į horizontą nuo 5 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite skrydžio laiką t, kol kamuolys atsitrenks į žemę.

v₀ = 24 m/sθ = 60°h = 5 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja per kelio kauburio viršūnę, kuri yra 45 m spindulio apskritimo lankas. Imkite g = 9,81 m/s². Viršijus kokį greitį v_max ratai viršūnėje atitrūksta nuo kelio?

r = 45 mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

2,5 kg vežimėlis be pradinio greičio paleidžiamas 6 m aukštyje ant bėgio be trinties ir pervažiuoja vertikalią 2 m spindulio kilpą. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite normalinę jėgą N_bottom, kuria bėgis veikia vežimėlį kilpos apačioje.

m = 2,5 kgh = 6 mR = 2 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

0,2 kg rutuliukas kabo ant lengvo 0,8 m ilgio siūlo. Jis atitraukiamas, kol siūlas su vertikale sudaro 90° kampą, ir paleidžiamas be pradinio greičio. Raskite siūlo įtempimo jėgą T, kai rutuliukas eina pro žemiausią tašką.

m = 0,2 kgL = 0,8 mθ = 90°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Darbas ir energijaSunkus

2 kg kaladėlė iš rimties būsenos 35° šlaito apačioje traukiama aukštyn šlaitu pastovia 25 N jėga, lygiagrečia šlaitui. Kinetinės trinties koeficientas 0,1. Raskite kaladėlės greitį v, kai ji pasislenka 10 m aukštyn šlaitu.

m = 2 kgF = 25 Nθ = 35°μ = 0,1d = 10 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

5 g kulka horizontaliai įšaunama į 4 kg medinį tašelį, kabantį ant lengvų siūlų, ir jame įstringa. Tašelis atsilenkia ir pakyla 3 cm aukščiau nei pradžioje. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 5 gM = 4 kgh = 3 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

1400 kg automobilis atsitrenkia į stovintį 1300 kg automobilį. Sukibę automobiliai nuslysta 13,5 m ir sustoja. Kinetinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,8. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite pirmojo automobilio greitį v₁ prieš pat susidūrimą.

m₁ = 1400 kgm₂ = 1300 kgd = 13,5 mμ = 0,8g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Matematinės švytuoklės ilgis – 0,2 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jos periodą T, kai svyravimai maži.

L = 0,2 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

Kūnas atlieka harmoninius svyravimus, kurių periodas 1 s, o amplitudė 20 cm. Per kokį trumpiausią laiką t jis nuo didžiausio 20 cm poslinkio pasislenka iki 15 cm poslinkio?

T = 1 sA = 20 cmx = 15 cm

t = s

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Abiejuose galuose pritvirtinta styga yra 0,6 m ilgio; bangos juo sklinda 150 m/s greičiu. Raskite jo 2-osios harmonikos dažnį f₂.

v = 150 m/sn = 2L = 0,6 m

f₂ = Hz

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Šviesolaidžio šerdies n₁ = 1,62, o apvalkalo n₂ = 1,52. Raskite jo skaitinę apertūrą NA.

n₁ = 1,62n₂ = 1,52

NA =

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: a = 1,25 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienetai

v = 180/3,6 = 50 m/s

Pagreitis

a = v²/(2s) = 50²/(2·1000) = 1,25 m/s²

Atsakymas

a = 1,25 m/s²

2.Kinematika

Atsakymas: h_max = 11,27 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Pakilimas virš stogo

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 5²/(2·9,81) = 1,274 m

Aukštis virš žemės

h_max = 10 + 1,274 = 11,27 m

Atsakymas

h_max = 11,27 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 2,433 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 20° − 0,1·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0,09397) = 2,433 m/s²

Atsakymas

a = 2,433 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: d = 2,063 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Lėtėjimas

Abi jėgos nukreiptos žemyn šlaitu; masė susiprastina.

a = 9,81·(sin 15° + 0,25·cos 15°) = 4,908 m/s²

Kelias

d = v₀²/(2a) = 4,5²/(2·4,908) = 2,063 m

Atsakymas

d = 2,063 m

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: y = 16,99 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Laikas iki sienos

v_x = 20·cos 70° = 6,84 m/s

t = x/v_x = 10/6,84 = 1,462 s

Aukštis tuo momentu

y = 18,79·1,462 − ½·9,81·1,462² = 16,99 m

Atsakymas

y = 16,99 m

Prie sienos kamuolys dar kyla.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: t = 4,466 s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 60° = 12 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 60° = 20,78 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 5 + 20,78·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (20,78 + √(432 + 98,1))/9,81 = 4,466 s

Atsakymas

t = 4,466 s

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 21,01 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Normalinė jėga lygi nuliui

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·45) = 21,01 m/s

Atsakymas

v_max = 21,01 m/s

(75,64 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: N_bottom = 171,7 N

Greitis iš energijos tvermės

v² = 2·9,81·6 = 117,7 m²/s²

Jėgos

Teigiama kryptis į centrą.

N = m·v²/R + m·g = 2,5·117,7/2 + 24,53 = 171,7 N

Atsakymas

N_bottom = 171,7 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: T = 5,886 N

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d). Judant apskritimu, į centrą nukreipta atstojamoji jėga turi būti lygi mv²/r.

Greitis apačioje

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·0,8·(1 − cos 90°) = 15,7 m²/s²

Jėgos apačioje

m·g = 0,2·9,81 = 1,962 N

T = mg + mv²/L = 1,962 + 0,2·15,7/0,8 = 5,886 N

Atsakymas

T = 5,886 N

Patikra: T = mg(3 − 2cos θ) = 5,886 N.

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 11,02 m/s

Jėgos išilgai nuokalnės

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

mg·sin θ = 11,25 N

μ·mg·cos θ = 1,607 N

Darbas ir energija

½mv² = (25 − 12,86)·10 = 121,4 J

v = √(2·121,4/2) = 11,02 m/s

Atsakymas

v = 11,02 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 614,5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Atsilenkimas po smūgio

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,03) = 0,7672 m/s

Susidūrimas

m·v = (m + M)·V → v = (0,005 + 4)·0,7672/0,005 = 614,5 m/s

Atsakymas

v = 614,5 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v₁ = 28,07 m/s

Greitis po susidūrimo

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,8·9,81·13,5) = 14,56 m/s

Judesio kiekis susidūrimo metu

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2700·14,56/1400 = 28,07 m/s

Atsakymas

v₁ = 28,07 m/s

(101,1 km/h)

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: T = 0,8971 s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Švytuoklės periodas

T = 2π·√(0,2/9,81) = 0,8971 s

Atsakymas

T = 0,8971 s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: t = 0,115 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = 2π/T = 2π/1 = 6,283 rad/s

Išreiškite laiką

0,75 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,75) = 0,7227 rad

t = 0,7227/6,283 = 0,115 s

Atsakymas

t = 0,115 s

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f₂ = 250 Hz

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Šios modos bangos ilgis

λ = 2L/n = 2·0,6/2 = 0,6 m

Dažnis

f = v/λ = 150/0,6 = 250 Hz

Atsakymas

f₂ = 250 Hz

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: NA = 0,5604

Geometrinė optika: ties riba n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelio dėsnis), kampai matuojami nuo normalės, o n = c/v. Patekęs į lėtesnę terpę spindulys lūžta normalės link. Iš tankesnės terpės (n₁ > n₂) už ribinio kampo θ_c = arcsin(n₂/n₁) visa šviesa atsispindi: visiškasis vidaus atspindys. Plonieji lęšiai ir sferiniai veidrodžiai paklūsta lygčiai 1/f = 1/d_o + 1/d_i su didinimu m = −d_i/d_o. Ženklų susitarimas: f > 0 glaudžiamajam lęšiui ir įgaubtam veidrodžiui (f = R/2), f < 0 sklaidomajam lęšiui ir iškiliam veidrodžiui; d_i > 0 tikrajam vaizdui, d_i < 0 menamajam, o m < 0 apverstam vaizdui.

Ribinis kampas ties apvalkalu

sin θc = 1,52/1,62 = 0,9383 → θc = 69,76°

Skaitinė apertūra

NA = √(1,62² − 1,52²) = 0,5604

Atsakymas

NA = 0,5604

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics