Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

54 km/h greičiu važiuojanti vairuotoja pamato kliūtį. Jos reakcijos laikas 1,2 s, po kurio automobilis stabdo pastoviu 4,5 m/s² lėtėjimu. Raskite visą stabdymo kelią d nuo momento, kai ji pamato kliūtį.

v₀ = 54 km/ht_r = 1,2 sa = −4,5 m/s²

d = m

2.KinematikaSunkus

Akmuo be pradinio greičio numetamas į šulinį. Pliūpsnis išgirstamas praėjus 2,8 s nuo akmens paleidimo. Garso greitis 343 m/s; nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite šulinio gylį d.

t_total = 2,8 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

10 kg rogės lygiu sniegu tempiamos lynu, sudarančiu 20° kampą virš horizontalės, 40 N jėga. Kinetinės trinties koeficientas 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite rogių pagreitį a.

m = 10 kgF = 40 Nθ = 20°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

Dvi kaladėlės ant lygių grindų sujungtos lengvu horizontaliu siūlu. Horizontali 75 N jėga traukia priekinę 1 kg kaladėlę; 9 kg kaladėlė velkama iš paskos. Abiejų kaladėlių kinetinės trinties koeficientas 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jungiamojo siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 9 kgm₂ = 1 kgF = 75 Nμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 30° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite skrydžio laiką t, kol kamuolys atsitrenks į žemę.

v₀ = 12 m/sθ = 30°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 15 m/s greičiu 35° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 30 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį H virš žemės skardžio papėdėje.

v₀ = 15 m/sθ = 35°h = 30 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 140 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,5. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 140 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

1,1 kg rutuliukas ant lengvo 1 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 7,5 m/s. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T_top aukščiausiame taške.

m = 1,1 kgr = 1 mv_bottom = 7,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

5 kg kūnas nuslysta 8 m nuokalne, pasvirusia 15° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,15. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 5 kgθ = 15°μ = 0,15d = 8 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

2 kg vežimėlis paleidžiamas be pradinio greičio 22,5 m aukštyje ant lygaus bėgio, vedančio į vertikalią apskritą 5 m spindulio kilpą. Raskite normalinę jėgą N, kuria bėgis veikia vežimėlį kilpos viršuje.

m = 2 kgh = 22,5 mR = 5 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

1 kg vežimėlis, judantis 11 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 3 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite antrojo vežimėlio greitį v′₂ po susidūrimo.

m₁ = 1 kgm₂ = 3 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,1 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 28 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 17 m/s greičiu. Sąlytis trunka 50 ms. Raskite vidutinę jėgą F_avg, kuria siena veikia kamuolį.

m = 0,1 kgv_in = 28 m/sv_out = 17 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Matematinės švytuoklės ilgis – 0,5 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jos periodą T, kai svyravimai maži.

L = 0,5 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

Krovinys ant spyruoklės, kurios k = 440 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 14 cm amplitude. Raskite jo kinetinę energiją K, kai jis yra 8 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

k = 440 N/mA = 14 cmx = 8 cm

K = J

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Abiejuose galuose pritvirtinta styga turi turėti, kad jo 4-osios harmonikos dažnis būtų 800 Hz; bangos juo sklinda 200 m/s greičiu. Raskite jo ilgį L.

v = 200 m/sn = 4f₄ = 800 Hz

L = m

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Gardelė su 1200 linijų milimetrui rodo spektro linijos 1 eilės maksimumą 32,7° kampu nuo tiesios krypties. Raskite linijos bangos ilgį λ.

N = 1200 mm⁻¹θ₁ = 32,7°m = 1

λ = nm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: d = 43 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienetai

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

Reakcijos kelias

d₁ = v₀·t_r = 15·1,2 = 18 m

Stabdymo kelias

d₂ = v₀²/(2a) = 15²/(2·4,5) = 25 m

Iš viso

d = 18 + 25 = 43 m

Atsakymas

d = 43 m

2.Kinematika

Atsakymas: d = 35,65 m

Dvi laiko dalys

½·9,81·t₁² = 343·(2,8 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 960,4 = 0

Kritimo trukmė

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·960,4))/(2·4,905) = 2,696 s

Gylis

d = ½·9,81·2,696² = 35,65 m

Atsakymas

d = 35,65 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 1,226 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Normalinė jėga

N = m·g − F·sin θ = 98,1 − 40·sin 20° = 84,42 N

Horizontaliosios jėgos

m·a = F·cos θ − μ·N = 37,59 − 25,33

a = 12,26/10 = 1,226 m/s²

Atsakymas

a = 1,226 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 67,5 N

Visa sistema

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (75 − 24,53)/10 = 5,047 m/s²

Vien galinė kaladėlė

T = m₁·(a + μ·g) = 9·(5,047 + 2,453) = 67,5 N

Atsakymas

T = 67,5 N

Kai abiejų kaladėlių μ vienodas, trintis išnyksta: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: t = 1,223 s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 30° = 10,39 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 30° = 6 m/s

Skrydžio laikas

Pradžia ir nusileidimas tame pačiame aukštyje: t = 2v_y/g.

t = 2·6/9,81 = 1,223 s

Atsakymas

t = 1,223 s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 33,77 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Vertikalusis pradinis greitis

v_y = 15·sin 35° = 8,604 m/s

Pakilimas virš skardžio

Δh = v_y²/(2g) = 8,604²/(2·9,81) = 3,773 m

Aukštis virš žemės

H = 30 + 3,773 = 33,77 m

Atsakymas

H = 33,77 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 26,2 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·140) = 26,2 m/s

Atsakymas

v_max = 26,2 m/s (94,34 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T_top = 7,92 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Greitis viršuje

Kinetinė energija 2r aukštyje virsta potencine energija.

v_top² = 7,5² − 4·9,81·1 = 17,01 m²/s²

Jėgos viršuje

Įtempimo ir sunkio jėgos abi nukreiptos žemyn, į centrą.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,1·17,01/1 − 1,1·9,81 = 7,92 N

Atsakymas

T_top = 7,92 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 56,85 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 49,05·0,9659 = 47,38 N

F = μN = 0,15·47,38 = 7,107 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 7,107·8 = 56,85 J

Atsakymas

W_f = 56,85 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: N = 78,48 N

Greitis viršuje

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(22,5 − 10) = 245,3 m²/s²

Jėgos viršuje

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

N = mv²/R − mg = 2·245,3/5 − 19,62 = 78,48 N

Atsakymas

N = 78,48 N

Vežimėlis vos apvažiuoja kilpą, kai h = 2,5R; tada viršuje N = 0.

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = 5,5 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (1 − 3)/(1 + 3)·11 = −5,5 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 3)·11 = 5,5 m/s

Atsakymas

v′₂ = 5,5 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: F_avg = 90 N

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,1·(17 + 28) = 4,5 N·s

Vidutinė jėga

F_avg = J/Δt = 4,5/0,05 = 90 N

Atsakymas

F_avg = 90 N

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: T = 1,419 s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Švytuoklės periodas

T = 2π·√(0,5/9,81) = 1,419 s

Atsakymas

T = 1,419 s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: K = 2,904 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Visa energija

E = ½·k·A² = ½·440·0,14² = 4,312 J

Spyruoklės energija taške x

U = ½·k·x² = ½·440·0,08² = 1,408 J

Kinetinė energija

K = 4,312 − 1,408 = 2,904 J

Atsakymas

K = 2,904 J

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: L = 0,5 m

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Bangos ilgis

λ = v/f = 200/800 = 0,25 m

Ilgis

L = nλ/2 = 4·0,25/2 = 0,5 m

Atsakymas

L = 0,5 m

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: λ = 450,2 nm

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Bangos ilgis

λ = d·sin θ/m = 8,333 × 10⁻⁷·sin 32,7°/1 = 450,2 nm

Atsakymas

λ = 450,2 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics