Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Pastoviu 28 m/s greičiu lekiantis automobilis pravažiuoja stovintį policijos automobilį. Tuo momentu policijos automobilis pajuda ir tolygiai greitėja 6 m/s² pagreičiu. Per kiek laiko policijos automobilis pasiveja? Raskite t.

v_car = 28 m/sa_police = 6 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.KinematikaSunkus

Kamuolys A be pradinio greičio numetamas iš 45 m aukščio. Tuo pačiu metu kamuolys B tiesiai po juo nuo žemės išmetamas vertikaliai aukštyn 28 m/s greičiu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y virš žemės jie susitinka?

H = 45 mv_0B = 28 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

3 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 40° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 3 kgθ = 40°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

Kaladėlė stumtelima taip, kad ji pradeda slysti aukštyn 25° rampa 7 m/s greičiu. Kinetinės trinties koeficientas 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Kokį atstumą d rampa ji nuslysta, kol sustoja?

v₀ = 7 m/sθ = 25°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės spiriamas 22 m/s greičiu 60° kampu virš horizontalės link sienos, esančios 34 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y kamuolys praskrenda pro sieną?

v₀ = 22 m/sθ = 60°x = 34 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 35° kampu į horizontą nuo 30 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite skrydžio laiką t, kol kamuolys atsitrenks į žemę.

v₀ = 16 m/sθ = 35°h = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 110 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,4. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 110 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

Rutuliukas ant 1 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Imkite g = 9,81 m/s². Koks mažiausias greitis v_min viršutiniame taške, kuriam esant siūlas dar lieka įtemptas?

r = 1 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

10 kg kūnas nuslysta 15 m nuokalne, pasvirusia 40° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,35. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 10 kgθ = 40°μ = 0,35d = 15 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

5 kg vežimėlis paleidžiamas be pradinio greičio 12 m aukštyje ant lygaus bėgio, vedančio į vertikalią apskritą 3 m spindulio kilpą. Raskite normalinę jėgą N, kuria bėgis veikia vežimėlį kilpos viršuje.

m = 5 kgh = 12 mR = 3 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

12 kg sviedinys, horizontaliai judantis 12 m/s greičiu, sprogsta į dvi skeveldras, kurios juda ta pačia tiese. 3 kg skeveldra toliau juda pirmyn 45 m/s greičiu. Raskite 9 kg skeveldros greitį v′₂ (teigiamas pradine kryptimi).

M = 12 kgu = 12 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 45 m/sm₂ = 9 kg

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,55 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 21 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 11 m/s greičiu. Sąlytis trunka 40 ms. Raskite jėgos impulso, kurį siena suteikia kamuoliui, modulį J.

m = 0,55 kgv_in = 21 m/sv_out = 11 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

2,1 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 380 N/m, atitraukiamas 7 cm teigiama kryptimi ir momentu t = 0 paleidžiamas be pradinio greičio. Raskite jo greitį v momentu t = 0,75 s (su ženklu).

m = 2,1 kgk = 380 N/mA = 7 cmt = 0,75 s

v = m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

Krovinys ant spyruoklės, kurios k = 300 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 9 cm amplitude. Raskite jo kinetinę energiją K, kai jis yra 3 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

k = 300 N/mA = 9 cmx = 3 cm

K = J

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Abiejuose galuose atviras vamzdis turi turėti, kad jo pagrindinės (pirmosios) harmonikos dažnis būtų 172 Hz. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite vamzdžio ilgį L.

v = 343 m/sn = 1f₁ = 172 Hz

L = m

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Šviesolaidžio šerdies n₁ = 1,5, o apvalkalo n₂ = 1,47. Raskite didžiausią kampą θ_a su šviesolaidžio ašimi, kuriuo šviesa iš oro gali patekti į šviesolaidžio galą ir vis tiek būti kreipiama visiškojo vidaus atspindžio.

n₁ = 1,5n₂ = 1,47n₀ = 1,00

θ_a = °

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: t = 9,333 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienodi atstumai

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·28/6 = 9,333 s

Atsakymas

t = 9,333 s

Tuo momentu policijos automobilis juda greičiu 2v = 56 m/s.

2.Kinematika

Atsakymas: y = 32,33 m

Susitikimo laikas

Teigiama kryptis aukštyn, žemė – y = 0.

45 − ½g·t² = 28·t − ½g·t² → t = 45/28 = 1,607 s

Susitikimo aukštis

y = 28·1,607 − ½·9,81·1,607² = 32,33 m

Atsakymas

y = 32,33 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 4,803 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 40° − 0,2·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0,1532) = 4,803 m/s²

Atsakymas

a = 4,803 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: d = 3,847 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Lėtėjimas

Abi jėgos nukreiptos žemyn šlaitu; masė susiprastina.

a = 9,81·(sin 25° + 0,25·cos 25°) = 6,369 m/s²

Kelias

d = v₀²/(2a) = 7²/(2·6,369) = 3,847 m

Atsakymas

d = 3,847 m

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: y = 12,03 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Laikas iki sienos

v_x = 22·cos 60° = 11 m/s

t = x/v_x = 34/11 = 3,091 s

Aukštis tuo momentu

y = 19,05·3,091 − ½·9,81·3,091² = 12,03 m

Atsakymas

y = 12,03 m

Prie sienos kamuolys jau leidžiasi žemyn.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: t = 3,58 s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 35° = 13,11 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 35° = 9,177 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 30 + 9,177·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9,177 + √(84,22 + 588,6))/9,81 = 3,58 s

Atsakymas

t = 3,58 s

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 20,78 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,4·9,81·110) = 20,78 m/s

Atsakymas

v_max = 20,78 m/s (74,79 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_min = 3,132 m/s

Viršuje įtempimo jėga lygi nuliui

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1) = 3,132 m/s

Atsakymas

v_min = 3,132 m/s

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 394,5 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 98,1·0,766 = 75,15 N

F = μN = 0,35·75,15 = 26,3 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 26,3·15 = 394,5 J

Atsakymas

W_f = 394,5 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: N = 147,2 N

Greitis viršuje

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(12 − 6) = 117,7 m²/s²

Jėgos viršuje

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

N = mv²/R − mg = 5·117,7/3 − 49,05 = 147,2 N

Atsakymas

N = 147,2 N

Vežimėlis vos apvažiuoja kilpą, kai h = 2,5R; tada viršuje N = 0.

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = 1 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Judesio kiekis prieš

p = M·u = 12·12 = 144 kg·m/s

Judesio kiekis po

144 = 3·45 + 9·v′₂

v′₂ = (144 − 135)/9 = 1 m/s

Atsakymas

v′₂ = 1 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: J = 17,6 N·s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,55·(11 + 21) = 17,6 N·s

Atsakymas

J = 17,6 N·s

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v = 0,5804 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(380/2,1) = 13,45 rad/s

ω·t = 13,45·0,75 = 10,09 rad

Greitis

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,07·13,45·sin(10,09) = 0,5804 m/s

Atsakymas

v = 0,5804 m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: K = 1,08 J

Visa energija

E = ½·k·A² = ½·300·0,09² = 1,215 J

Spyruoklės energija taške x

U = ½·k·x² = ½·300·0,03² = 0,135 J

Kinetinė energija

K = 1,215 − 0,135 = 1,08 J

Atsakymas

K = 1,08 J

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: L = 0,9971 m

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Bangos ilgis

λ = v/f = 343/172 = 1,994 m

Ilgis

L = nλ/2 = 1·1,994/2 = 0,9971 m

Atsakymas

L = 0,9971 m

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: θ_a = 17,37 °

Geometrinė optika: ties riba n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelio dėsnis), kampai matuojami nuo normalės, o n = c/v. Patekęs į lėtesnę terpę spindulys lūžta normalės link. Iš tankesnės terpės (n₁ > n₂) už ribinio kampo θ_c = arcsin(n₂/n₁) visa šviesa atsispindi: visiškasis vidaus atspindys. Plonieji lęšiai ir sferiniai veidrodžiai paklūsta lygčiai 1/f = 1/d_o + 1/d_i su didinimu m = −d_i/d_o. Ženklų susitarimas: f > 0 glaudžiamajam lęšiui ir įgaubtam veidrodžiui (f = R/2), f < 0 sklaidomajam lęšiui ir iškiliam veidrodžiui; d_i > 0 tikrajam vaizdui, d_i < 0 menamajam, o m < 0 apverstam vaizdui.

Ribinis kampas ties apvalkalu

sin θc = 1,47/1,5 = 0,98 → θc = 78,52°

Skaitinė apertūra

NA = √(1,5² − 1,47²) = 0,2985

Priėmimo kampas

θ_a = arcsin(0,2985) = 17,37°

Atsakymas

θ_a = 17,37°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics