Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

54 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 4,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.

v₀ = 54 km/ha = −4,5 m/s²v = 0

s = m

2.KinematikaSunkus

Kamuolys A be pradinio greičio numetamas iš 15 m aukščio. Tuo pačiu metu kamuolys B tiesiai po juo nuo žemės išmetamas vertikaliai aukštyn 12 m/s greičiu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kada kamuoliai susitinka? Raskite t.

H = 15 mv_0B = 12 m/sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

Dėžė slysta lygiomis grindimis 12 m/s pradiniu greičiu ir sustoja nuslydusi 150 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kinetinės trinties koeficientą μ.

v₀ = 12 m/sd = 150 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Niutono dėsniaiSunkus

2 kg kaladėlė ant 40° rampos lengvu siūlu per skridinį be trinties rampos viršuje sujungta su kabančiu 3 kg kroviniu. Kabantis krovinys juda žemyn. Kinetinės trinties tarp kaladėlės ir rampos koeficientas 0,15. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.

m₁ = 2 kgm₂ = 3 kgθ = 40°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 30° kampu virš horizontalės ir nukrinta 110 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite pradinį greitį v₀.

θ = 30°R = 110 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 60° kampu į horizontą nuo 50 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 35 m/sθ = 60°h = 50 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Atrakcione „rotorius“ žmonės stovi prie vertikalaus 3,2 m spindulio cilindro sienos. Kai jis sukasi pakankamai greitai, grindys nusileidžia, o žmones išlaiko trintis. Statinės trinties koeficientas 0,6. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažiausią kampinį greitį ω rad/s.

r = 3,2 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

2,5 kg vežimėlis be pradinio greičio paleidžiamas 38 m aukštyje ant bėgio be trinties ir pervažiuoja vertikalią 10 m spindulio kilpą. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite normalinę jėgą N_top, kuria bėgis veikia vežimėlį kilpos viršuje.

m = 2,5 kgh = 38 mR = 10 mg = 9,81 m/s²

N_top = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

1500 kg automobilis važiuoja į 5° šlaitą pastoviu 90 km/h greičiu. Oro ir riedėjimo pasipriešinimas kartu sudaro 800 N. Raskite galią P, kurią turi perduoti ratai (kW).

m = 1500 kgθ = 5°F_r = 800 Nv = 90 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Darbas ir energijaSunkus

10 kg kaladėlė iš rimties būsenos 20° šlaito apačioje traukiama aukštyn šlaitu pastovia 65 N jėga, lygiagrečia šlaitui. Kinetinės trinties koeficientas 0,2. Raskite kaladėlės greitį v, kai ji pasislenka 9 m aukštyn šlaitu.

m = 10 kgF = 65 Nθ = 20°μ = 0,2d = 9 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

3,5 kg vežimėlis, judantis 9 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 2,5 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite antrojo vežimėlio greitį v′₂ po susidūrimo.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 2,5 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

900 kg automobilis atsitrenkia į stovintį 1600 kg automobilį. Sukibę automobiliai nuslysta 4 m ir sustoja. Kinetinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,5. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite pirmojo automobilio greitį v₁ prieš pat susidūrimą.

m₁ = 900 kgm₂ = 1600 kgd = 4 mμ = 0,5g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

3,2 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 380 N/m, atitraukiamas 8 cm teigiama kryptimi ir momentu t = 0 paleidžiamas be pradinio greičio. Raskite jo greitį v momentu t = 1,4 s (su ženklu).

m = 3,2 kgk = 380 N/mA = 8 cmt = 1,4 s

v = m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

Krovinys ant spyruoklės, kurios k = 200 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 8 cm amplitude. Raskite spyruoklėje sukauptą energiją U, kai krovinys yra 5 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

k = 200 N/mA = 8 cmx = 5 cm

U = J

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

600 Hz dažnio šaltinis, judantis 34 m/s greičiu, ir stebėtojas, judantis 15 m/s greičiu, artėja vienas prie kito. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite stebėtojo girdimą dažnį f′.

f = 600 Hzv = 343 m/sv_s = 34 m/sv_o = 15 m/s

f′ = Hz

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Du ploni lęšiai turi bendrą ašį ir yra nutolę 40 cm: 1 lęšis, kurio f₁ = 8 cm, ir 2 lęšis, kurio f₂ = 5 cm. Daiktas yra 15 cm atstumu prieš 1 lęšį. Raskite galutinio vaizdo padėtį d_i2, matuojamą nuo 2 lęšio (teigiama už 2 lęšio, tikrasis vaizdas teigiamas).

f₁ = 8 cmf₂ = 5 cms = 40 cmd_o = 15 cm

d_i2 = cm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: s = 25 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

Stabdymo kelias

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·4,5) = 25 m

Atsakymas

s = 25 m

2.Kinematika

Atsakymas: t = 1,25 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Susitikimo laikas

Teigiama kryptis aukštyn, žemė – y = 0.

15 − ½g·t² = 12·t − ½g·t² → t = 15/12 = 1,25 s

Atsakymas

t = 1,25 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: μ = 0,04893

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Lėtėjimas

a = v₀²/(2d) = 12²/(2·150) = 0,48 m/s²

Trinties koeficientas

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0,48/9,81 = 0,04893

Atsakymas

μ = 0,04893

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 2,913 m/s²

Jėgos išilgai siūlo

m₂·g = 29,43 N

m₁·g·sin θ = 12,61 N

μ·m₁·g·cos θ = 2,254 N

Sistemos pagreitis

a = (29,43 − 12,61 − 2,254)/5 = 2,913 m/s²

Atsakymas

a = 2,913 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: v₀ = 35,3 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Iš nuotolio formulės išreiškite v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·110/sin 60°) = 35,3 m/s

Atsakymas

v₀ = 35,3 m/s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 131,8 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 35·cos 60° = 17,5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 35·sin 60° = 30,31 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 50 + 30,31·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (30,31 + √(918,7 + 981))/9,81 = 7,533 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 17,5·7,533 = 131,8 m

Atsakymas

x = 131,8 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: ω = 2,26 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Žmogų veikiančios jėgos

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Kampinis greitis

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,6·3,2)) = 2,26 rad/s

Atsakymas

ω = 2,26 rad/s

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: N_top = 63,77 N

Greitis iš energijos tvermės

v² = 2·9,81·(38 − 2·10) = 353,2 m²/s²

Jėgos

Teigiama kryptis į centrą.

N = m·v²/R − m·g = 2,5·353,2/10 − 24,53 = 63,77 N

Atsakymas

N_top = 63,77 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: P = 52,06 kW

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d). Galia lygi jėgos ir greičio sandaugai: P = F·v.

Varomoji jėga

m·g = 1500·9,81 = 14715 N

mg·sin θ = 14715·sin 5° = 1282 N

F = 1282 + 800 = 2082 N

Galia

v = 90/3,6 = 25 m/s

P = F·v = 2082·25 = 52062 W = 52,06 kW

Atsakymas

P = 52,06 kW

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 4,839 m/s

Jėgos išilgai nuokalnės

m·g = 10·9,81 = 98,1 N

mg·sin θ = 33,55 N

μ·mg·cos θ = 18,44 N

Darbas ir energija

½mv² = (65 − 51,99)·9 = 117,1 J

v = √(2·117,1/10) = 4,839 m/s

Atsakymas

v = 4,839 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = 10,5 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (3,5 − 2,5)/(3,5 + 2,5)·9 = 1,5 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 2,5)·9 = 10,5 m/s

Atsakymas

v′₂ = 10,5 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v₁ = 17,4 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Greitis po susidūrimo

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,5·9,81·4) = 6,264 m/s

Judesio kiekis susidūrimo metu

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2500·6,264/900 = 17,4 m/s

Atsakymas

v₁ = 17,4 m/s

(62,64 km/h)

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v = −0,3806 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(380/3,2) = 10,9 rad/s

ω·t = 10,9·1,4 = 15,26 rad

Greitis

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,08·10,9·sin(15,26) = −0,3806 m/s

Atsakymas

v = −0,3806 m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: U = 0,25 J

Visa energija

E = ½·k·A² = ½·200·0,08² = 0,64 J

Spyruoklės energija taške x

U = ½·k·x² = ½·200·0,05² = 0,25 J

Atsakymas

U = 0,25 J

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f′ = 695,1 Hz

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Doplerio formulė

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 600·(343 + 15)/(343 − 34)

f′ = 695,1 Hz

Atsakymas

f′ = 695,1 Hz

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: d_i2 = 6,4 cm

Geometrinė optika: ties riba n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelio dėsnis), kampai matuojami nuo normalės, o n = c/v. Patekęs į lėtesnę terpę spindulys lūžta normalės link. Iš tankesnės terpės (n₁ > n₂) už ribinio kampo θ_c = arcsin(n₂/n₁) visa šviesa atsispindi: visiškasis vidaus atspindys. Plonieji lęšiai ir sferiniai veidrodžiai paklūsta lygčiai 1/f = 1/d_o + 1/d_i su didinimu m = −d_i/d_o. Ženklų susitarimas: f > 0 glaudžiamajam lęšiui ir įgaubtam veidrodžiui (f = R/2), f < 0 sklaidomajam lęšiui ir iškiliam veidrodžiui; d_i > 0 tikrajam vaizdui, d_i < 0 menamajam, o m < 0 apverstam vaizdui.

1 lęšio vaizdas

1/d_i1 = 1/8 − 1/15 → d_i1 = 17,14 cm

2 lęšio daiktas

d_o2 = 40 − 17,14 = 22,86 cm

Galutinis vaizdas

1/d_i2 = 1/5 − 1/22,86 → d_i2 = 6,4 cm

Atsakymas

d_i2 = 6,4 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics