Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Pastoviu 30 m/s greičiu lekiantis automobilis pravažiuoja stovintį policijos automobilį. Tuo momentu policijos automobilis pajuda ir tolygiai greitėja 4,5 m/s² pagreičiu. Per kiek laiko policijos automobilis pasiveja? Raskite t.

v_car = 30 m/sa_police = 4,5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 5 m/s greičiu nuo stogo, esančio 10 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Po kiek laiko nuo metimo jis nukris ant žemės? Raskite t.

v₀ = 5 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

15 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 45° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 15 kgθ = 45°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

5 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 3 kg kroviniu. Stalas be trinties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 5 kgm₂ = 3 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 15° kampu virš horizontalės ir nukrinta 135 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite pradinį greitį v₀.

θ = 15°R = 135 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 30° kampu į horizontą nuo 45 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 15 m/sθ = 30°h = 45 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 150 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,6. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 150 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

1,7 kg rutuliukas ant 0,7 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 6 m/s. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T žemiausiame taške.

m = 1,7 kgr = 0,7 mv = 6 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

2,5 kg kūnas nuslysta 8 m nuokalne, pasvirusia 30° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,1. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 2,5 kgθ = 30°μ = 0,1d = 8 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

1 kg vežimėlis paleidžiamas be pradinio greičio 3 m aukštyje ant lygaus bėgio, vedančio į vertikalią apskritą 1 m spindulio kilpą. Raskite normalinę jėgą N, kuria bėgis veikia vežimėlį kilpos viršuje.

m = 1 kgh = 3 mR = 1 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

1,5 kg vežimėlis, judantis 11 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 1 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite pirmojo vežimėlio greitį v′₁ po susidūrimo (teigiamą jo pradine judėjimo kryptimi).

m₁ = 1,5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,15 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 29 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 5 m/s greičiu. Sąlytis trunka 20 ms. Raskite vidutinę jėgą F_avg, kuria siena veikia kamuolį.

m = 0,15 kgv_in = 29 m/sv_out = 5 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

1,8 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 220 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 14 cm amplitude. Raskite jo greitį v, kai jis yra 2 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

m = 1,8 kgk = 220 N/mA = 14 cmx = 2 cm

v = m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

Kūnas atlieka harmoninius svyravimus, kurių periodas 4 s, o amplitudė 15 cm. Per kokį trumpiausią laiką t jis nuo pusiausvyros padėties pasislenka iki 4,5 cm poslinkio?

T = 4 sA = 15 cmx = 4,5 cm

t = s

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Daiktas yra 18 cm atstumu prieš ploną lęšį (glaudžiamasis), kurio židinio nuotolis 12 cm. Raskite didinimą m (neigiamas apverstam vaizdui).

d_o = 18 cmf = 12 cm

m =

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

450 nm bangos ilgio šviesa praeina pro 0,12 mm pločio vieną plyšį. Raskite centrinio šviesaus maksimumo plotį w ekrane, esančiame 1 m atstumu (tarp pirmųjų tamsių ruožų abiejose pusėse).

λ = 450 nma = 0,12 mmL = 1 m

w = mm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: t = 13,33 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienodi atstumai

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·30/4,5 = 13,33 s

Atsakymas

t = 13,33 s

Tuo momentu policijos automobilis juda greičiu 2v = 60 m/s.

2.Kinematika

Atsakymas: t = 2,026 s

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Judėjimo lygtis

Aukštyn – teigiama kryptis, žemė yra h₀ žemiau pradinio taško.

−10 = 5·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 5·t − 10 = 0

Išspręskite kvadratinę lygtį

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t = (5 + √(5² + 2·9,81·10))/9,81 = 2,026 s

Atsakymas

t = 2,026 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 4,856 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 45° − 0,3·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0,2121) = 4,856 m/s²

Atsakymas

a = 4,856 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 18,39 N

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29,43 − 0)/8 = 3,679 m/s²

Įtempimo jėga iš kūno ant stalo lygties

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 5·3,679 + 0 = 18,39 N

Atsakymas

T = 18,39 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: v₀ = 51,47 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Iš nuotolio formulės išreiškite v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·135/sin 30°) = 51,47 m/s

Atsakymas

v₀ = 51,47 m/s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 50,51 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 15·cos 30° = 12,99 m/s

v_y = v₀·sin θ = 15·sin 30° = 7,5 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 45 + 7,5·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7,5 + √(56,25 + 882,9))/9,81 = 3,888 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 12,99·3,888 = 50,51 m

Atsakymas

x = 50,51 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 29,71 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·150) = 29,71 m/s

Atsakymas

v_max = 29,71 m/s (107 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 104,1 N

Jėgos žemiausiame taške

Į centrą (aukštyn) – teigiama kryptis.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,7·9,81 + 1,7·6²/0,7 = 16,68 + 87,43 = 104,1 N

Atsakymas

T = 104,1 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 16,99 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 24,53·0,866 = 21,24 N

F = μN = 0,1·21,24 = 2,124 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 2,124·8 = 16,99 J

Atsakymas

W_f = 16,99 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: N = 9,81 N

Greitis viršuje

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(3 − 2) = 19,62 m²/s²

Jėgos viršuje

m·g = 1·9,81 = 9,81 N

N = mv²/R − mg = 1·19,62/1 − 9,81 = 9,81 N

Atsakymas

N = 9,81 N

Vežimėlis vos apvažiuoja kilpą, kai h = 2,5R; tada viršuje N = 0.

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₁ = 2,2 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (1,5 − 1)/(1,5 + 1)·11 = 2,2 m/s

v′₂ = 2·1,5/(1,5 + 1)·11 = 13,2 m/s

Atsakymas

v′₁ = 2,2 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: F_avg = 255 N

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,15·(5 + 29) = 5,1 N·s

Vidutinė jėga

F_avg = J/Δt = 5,1/0,02 = 255 N

Atsakymas

F_avg = 255 N

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v = 1,532 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(220/1,8) = 11,06 rad/s

Greitis taške x

v = ω·√(A² − x²) = 11,06·√(0,14² − 0,02²) = 1,532 m/s

Atsakymas

v = 1,532 m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: t = 0,194 s

Kampinis dažnis

ω = 2π/T = 2π/4 = 1,571 rad/s

Išreiškite laiką

0,3 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,3) = 0,3047 rad

t = 0,3047/1,571 = 0,194 s

Atsakymas

t = 0,194 s

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: m = −2

Geometrinė optika: ties riba n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelio dėsnis), kampai matuojami nuo normalės, o n = c/v. Patekęs į lėtesnę terpę spindulys lūžta normalės link. Iš tankesnės terpės (n₁ > n₂) už ribinio kampo θ_c = arcsin(n₂/n₁) visa šviesa atsispindi: visiškasis vidaus atspindys. Plonieji lęšiai ir sferiniai veidrodžiai paklūsta lygčiai 1/f = 1/d_o + 1/d_i su didinimu m = −d_i/d_o. Ženklų susitarimas: f > 0 glaudžiamajam lęšiui ir įgaubtam veidrodžiui (f = R/2), f < 0 sklaidomajam lęšiui ir iškiliam veidrodžiui; d_i > 0 tikrajam vaizdui, d_i < 0 menamajam, o m < 0 apverstam vaizdui.

Plonojo lęšio lygtis

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/12 − 1/18

d_i = 36 cm

Didinimas

m = −d_i/d_o = −36/18 = −2

Atsakymas

m = −2

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: w = 7,5 mm

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Pirmasis tamsus ruožas

y₁ = λL/a = 450 × 10⁻⁹·1/(0,12 × 10⁻³) = 3,75 mm

Centrinio maksimumo plotis

w = 2y₁ = 7,5 mm

Atsakymas

w = 7,5 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics