Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

54 km/h greičiu važiuojanti vairuotoja pamato kliūtį. Jos reakcijos laikas 0,5 s, po kurio automobilis stabdo pastoviu 5,5 m/s² lėtėjimu. Raskite visą stabdymo kelią d nuo momento, kai ji pamato kliūtį.

v₀ = 54 km/ht_r = 0,5 sa = −5,5 m/s²

d = m

2.KinematikaSunkus

Tramvajus pajuda iš vietos ir 4 s greitėja 2,5 m/s² pagreičiu, tada 17 s važiuoja pastoviu greičiu ir galiausiai stabdo 5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite visą atstumą s tarp dviejų stotelių.

a₁ = 2,5 m/s²t₁ = 4 st₂ = 17 sa₃ = −5 m/s²

s = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

35 kg rogės lygiu sniegu tempiamos lynu, sudarančiu 35° kampą virš horizontalės, 130 N jėga. Kinetinės trinties koeficientas 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite rogių pagreitį a.

m = 35 kgF = 130 Nθ = 35°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

Dvi kaladėlės ant lygių grindų sujungtos lengvu horizontaliu siūlu. Horizontali 125 N jėga traukia priekinę 12 kg kaladėlę; 6 kg kaladėlė velkama iš paskos. Abiejų kaladėlių kinetinės trinties koeficientas 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jungiamojo siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 6 kgm₂ = 12 kgF = 125 Nμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 60° kampu virš horizontalės ir nukrinta 100 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite pradinį greitį v₀.

θ = 60°R = 100 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 50° kampu į horizontą nuo 20 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 22 m/sθ = 50°h = 20 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Kelių inžinierius nori, kad automobiliai 220 m spindulio posūkį įveiktų 50 km/h greičiu nesiremdami trintimi. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite posvyrio kampą θ.

r = 220 mv = 50 km/hg = 9,81 m/s²

θ = °

8.Judėjimas apskritimuSunkus

150 m spindulio posūkis turi 15° posvyrį, o statinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį nenuslysdamas aukštyn ir į išorę.

r = 150 mθ = 15°μ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

Kūnas be pradinio greičio slysta nuokalne, pasvirusia 35° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,15. Raskite jo greitį v, nuslydus 11 m nuokalne.

θ = 35°μ = 0,15d = 11 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Darbas ir energijaSunkus

0,5 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 1 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 2 m ilgio juostą (μ = 0,1) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 5000 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite kūno greitį v, kai jis pasiekia spyruoklę.

m = 0,5 kgh = 1 mL = 2 mμ = 0,1k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

2 kg vežimėlis, judantis 3 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 2,5 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite antrojo vežimėlio greitį v′₂ po susidūrimo.

m₁ = 2 kgm₂ = 2,5 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

12 g kulka horizontaliai įšaunama į 5 kg tašelį, kabantį ant lengvų 1,7 m ilgio siūlų, ir jame įstringa. Siūlai atsilenkia didžiausiu 15° kampu nuo vertikalės. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 12 gM = 5 kgL = 1,7 mθ = 15°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

0,6 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 40 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 11 cm amplitude. Raskite jo greitį v, kai jis yra 2 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

m = 0,6 kgk = 40 N/mA = 11 cmx = 2 cm

v = m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

2,3 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 460 N/m, atitraukiamas 7 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite visą svyravimų energiją E.

m = 2,3 kgk = 460 N/mA = 7 cm

E = J

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Daiktas yra 20 cm atstumu prieš ploną lęšį (sklaidomasis), kurio židinio nuotolis 5 cm. Raskite didinimą m (neigiamas apverstam vaizdui).

d_o = 20 cmf = −5 cm

m =

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Šviesolaidžio šerdies n₁ = 1,46, o apvalkalo n₂ = 1,41. Raskite jo skaitinę apertūrą NA.

n₁ = 1,46n₂ = 1,41

NA =

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: d = 27,95 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienetai

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

Reakcijos kelias

d₁ = v₀·t_r = 15·0,5 = 7,5 m

Stabdymo kelias

d₂ = v₀²/(2a) = 15²/(2·5,5) = 20,45 m

Iš viso

d = 7,5 + 20,45 = 27,95 m

Atsakymas

d = 27,95 m

2.Kinematika

Atsakymas: s = 200 m

Didžiausias greitis

v = a₁·t₁ = 2,5·4 = 10 m/s

Kiekvienos fazės atstumas

s₁ = ½·2,5·4² = 20 m

s₂ = 10·17 = 170 m

s₃ = 10²/(2·5) = 10 m

Visas atstumas

s = 20 + 170 + 10 = 200 m

Atsakymas

s = 200 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 1,123 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Normalinė jėga

N = m·g − F·sin θ = 343,4 − 130·sin 35° = 268,8 N

Horizontaliosios jėgos

m·a = F·cos θ − μ·N = 106,5 − 67,2

a = 39,29/35 = 1,123 m/s²

Atsakymas

a = 1,123 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 41,67 N

Visa sistema

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (125 − 17,66)/18 = 5,963 m/s²

Vien galinė kaladėlė

T = m₁·(a + μ·g) = 6·(5,963 + 0,981) = 41,67 N

Atsakymas

T = 41,67 N

Kai abiejų kaladėlių μ vienodas, trintis išnyksta: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: v₀ = 33,66 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Iš nuotolio formulės išreiškite v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·100/sin 120°) = 33,66 m/s

Atsakymas

v₀ = 33,66 m/s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 61,79 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 50° = 14,14 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 50° = 16,85 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 20 + 16,85·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (16,85 + √(284 + 392,4))/9,81 = 4,369 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 14,14·4,369 = 61,79 m

Atsakymas

x = 61,79 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: θ = 5,108 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Vienetai

v = 50/3,6 = 13,89 m/s

Posvyrio kampas

tan θ = v²/(r·g) = 13,89²/(220·9,81) = 0,08938

θ = 5,108°

Atsakymas

θ = 5,108°

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 30,15 m/s

Jėgų pusiausvyros

Trintis nukreipta žemyn šlaitu.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Greitis

v = √(150·9,81·0,5486/0,8883) = 30,15 m/s

Atsakymas

v_max = 30,15 m/s

(108,5 km/h)

9.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 9,863 m/s

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Energijos balansas nuokalne

Kūnas nusileidžia d·sin θ aukščiu, o trintis atima μmg·cos θ·d. Masė susiprastina.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·11·(0,5736 − 0,15·0,8192)) = 9,863 m/s

Atsakymas

v = 9,863 m/s

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 3,962 m/s

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 4,905·(1 − 0,1·2) = 3,924 J

Greitis prie spyruoklės

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·0,8) = 3,962 m/s

Atsakymas

v = 3,962 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = 2,667 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (2 − 2,5)/(2 + 2,5)·3 = −0,3333 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 2,5)·3 = 2,667 m/s

Atsakymas

v′₂ = 2,667 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 445,3 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Tašelio pakilimas

h = L·(1 − cos θ) = 1,7·(1 − cos 15°) = 0,05793 m

Greitis po smūgio

V = √(2·9,81·0,05793) = 1,066 m/s

Susidūrimas

v = (m + M)·V/m = 5,012·1,066/0,012 = 445,3 m/s

Atsakymas

v = 445,3 m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v = 0,8832 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(40/0,6) = 8,165 rad/s

Greitis taške x

v = ω·√(A² − x²) = 8,165·√(0,11² − 0,02²) = 0,8832 m/s

Atsakymas

v = 0,8832 m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: E = 1,127 J

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(460/2,3) = 14,14 rad/s

Energija

E = ½·k·A² = ½·460·0,07² = 1,127 J

Atsakymas

E = 1,127 J

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: m = 0,2

Geometrinė optika: ties riba n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelio dėsnis), kampai matuojami nuo normalės, o n = c/v. Patekęs į lėtesnę terpę spindulys lūžta normalės link. Iš tankesnės terpės (n₁ > n₂) už ribinio kampo θ_c = arcsin(n₂/n₁) visa šviesa atsispindi: visiškasis vidaus atspindys. Plonieji lęšiai ir sferiniai veidrodžiai paklūsta lygčiai 1/f = 1/d_o + 1/d_i su didinimu m = −d_i/d_o. Ženklų susitarimas: f > 0 glaudžiamajam lęšiui ir įgaubtam veidrodžiui (f = R/2), f < 0 sklaidomajam lęšiui ir iškiliam veidrodžiui; d_i > 0 tikrajam vaizdui, d_i < 0 menamajam, o m < 0 apverstam vaizdui.

Plonojo lęšio lygtis

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−5) − 1/20

d_i = −4 cm

Didinimas

m = −d_i/d_o = −(−4)/20 = 0,2

Atsakymas

m = 0,2

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: NA = 0,3788

Ribinis kampas ties apvalkalu

sin θc = 1,41/1,46 = 0,9658 → θc = 74,96°

Skaitinė apertūra

NA = √(1,46² − 1,41²) = 0,3788

Atsakymas

NA = 0,3788

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics