Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

120 km/h greičiu važiuojanti vairuotoja pamato kliūtį. Jos reakcijos laikas 0,9 s, po kurio automobilis stabdo pastoviu 7 m/s² lėtėjimu. Raskite visą stabdymo kelią d nuo momento, kai ji pamato kliūtį.

v₀ = 120 km/ht_r = 0,9 sa = −7 m/s²

d = m

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 6 m/s greičiu nuo stogo, esančio 40 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Po kiek laiko nuo metimo jis nukris ant žemės? Raskite t.

v₀ = 6 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

40 kg dėžė pastoviu greičiu stumiama aukštyn 40° kampu į horizontalę pasvirusia rampa jėga, lygiagrečia rampai. Kinetinės trinties koeficientas 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite stūmimo jėgą F.

m = 40 kgθ = 40°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

F = N

4.Niutono dėsniaiSunkus

Dvi kaladėlės ant lygių grindų sujungtos lengvu horizontaliu siūlu. Horizontali 80 N jėga traukia priekinę 3 kg kaladėlę; 11 kg kaladėlė velkama iš paskos. Abiejų kaladėlių kinetinės trinties koeficientas 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jungiamojo siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 11 kgm₂ = 3 kgF = 80 Nμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 60° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 26 m/sθ = 60°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 15° kampu į horizontą nuo 15 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite skrydžio laiką t, kol kamuolys atsitrenks į žemę.

v₀ = 12 m/sθ = 15°h = 15 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Mažas rutuliukas ant 1,1 m ilgio siūlo juda horizontaliu apskritimu taip, kad siūlas su vertikale sudaro pastovų 40° kampą (kūginė švytuoklė). Imkite g = 9,81 m/s². Raskite vieno apsisukimo trukmę T.

L = 1,1 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

1 kg rutuliukas ant lengvo 0,5 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 7,5 m/s. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T_top aukščiausiame taške.

m = 1 kgr = 0,5 mv_bottom = 7,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

Kūnas be pradinio greičio slysta nuokalne, pasvirusia 40° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,25. Raskite jo greitį v, nuslydus 5 m nuokalne.

θ = 40°μ = 0,25d = 5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Darbas ir energijaSunkus

2 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 4 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 3,5 m ilgio juostą (μ = 0,15) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 1000 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite didžiausią spyruoklės suspaudimą x.

m = 2 kgh = 4 mL = 3,5 mμ = 0,15k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

15 g kulka horizontaliai įšaunama į 2,5 kg medinį tašelį, kabantį ant lengvų siūlų, ir jame įstringa. Tašelis atsilenkia ir pakyla 7 cm aukščiau nei pradžioje. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 15 gM = 2,5 kgh = 7 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

Sankryžoje į rytus 8 m/s greičiu važiuojantis 1100 kg automobilis susiduria su į šiaurę 13 m/s greičiu važiuojančiu 1500 kg automobiliu. Automobiliai sukimba. Raskite automobilių nuolaužų greitį v′ iškart po susidūrimo.

m₁ = 1100 kgv₁ = 8 m/s (E)m₂ = 1500 kgv₂ = 13 m/s (N)

v′ = m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

0,4 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 160 N/m, atitraukiamas 3 cm teigiama kryptimi ir momentu t = 0 paleidžiamas be pradinio greičio. Raskite jo poslinkį x nuo pusiausvyros padėties momentu t = 0,9 s (su ženklu).

m = 0,4 kgk = 160 N/mA = 3 cmt = 0,9 s

x = cm

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

1,4 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 150 N/m, atitraukiamas 20 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią pagreitį a_max.

m = 1,4 kgk = 150 N/mA = 20 cm

a_max = m/s²

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Daiktas yra 50 cm atstumu prieš ploną lęšį (sklaidomasis), kurio židinio nuotolis 12 cm. Raskite didinimą m (neigiamas apverstam vaizdui).

d_o = 50 cmf = −12 cm

m =

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

589 nm bangos ilgio šviesa praeina pro 0,08 mm pločio vieną plyšį. Raskite centrinio šviesaus maksimumo plotį w ekrane, esančiame 3 m atstumu (tarp pirmųjų tamsių ruožų abiejose pusėse).

λ = 589 nma = 0,08 mmL = 3 m

w = mm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: d = 109,4 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienetai

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

Reakcijos kelias

d₁ = v₀·t_r = 33,33·0,9 = 30 m

Stabdymo kelias

d₂ = v₀²/(2a) = 33,33²/(2·7) = 79,37 m

Iš viso

d = 30 + 79,37 = 109,4 m

Atsakymas

d = 109,4 m

2.Kinematika

Atsakymas: t = 3,532 s

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Judėjimo lygtis

Aukštyn – teigiama kryptis, žemė yra h₀ žemiau pradinio taško.

−40 = 6·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 6·t − 40 = 0

Išspręskite kvadratinę lygtį

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t = (6 + √(6² + 2·9,81·40))/9,81 = 3,532 s

Atsakymas

t = 3,532 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: F = 282,3 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Jėgos išilgai nuokalnės

Pastovus greitis: jėgos atsveria viena kitą.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Stūmimo jėga

F = 252,2 + 30,06 = 282,3 N

Atsakymas

F = 282,3 N

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 62,86 N

Visa sistema

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (80 − 13,73)/14 = 4,733 m/s²

Vien galinė kaladėlė

T = m₁·(a + μ·g) = 11·(4,733 + 0,981) = 62,86 N

Atsakymas

T = 62,86 N

Kai abiejų kaladėlių μ vienodas, trintis išnyksta: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 59,68 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 60° = 13 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 60° = 22,52 m/s

Skrydžio laikas

Pradžia ir nusileidimas tame pačiame aukštyje: t = 2v_y/g.

t = 2·22,52/9,81 = 4,591 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 13·4,591 = 59,68 m

Atsakymas

x = 59,68 m

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: t = 2,094 s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 15° = 11,59 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 15° = 3,106 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 15 + 3,106·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (3,106 + √(9,646 + 294,3))/9,81 = 2,094 s

Atsakymas

t = 2,094 s

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 1,841 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Apskritimo spindulys

r = L·sin θ = 1,1·sin 40° = 0,7071 m

Greitis

Įtempimo ir sunkio jėgos kartu duoda į centrą nukreiptą jėgą: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,7071·9,81·tan 40°) = 2,413 m/s

Periodas

T = 2π·r/v = 2π·0,7071/2,413 = 1,841 s

Atsakymas

T = 1,841 s

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T_top = 63,45 N

Greitis viršuje

Kinetinė energija 2r aukštyje virsta potencine energija.

v_top² = 7,5² − 4·9,81·0,5 = 36,63 m²/s²

Jėgos viršuje

Įtempimo ir sunkio jėgos abi nukreiptos žemyn, į centrą.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1·36,63/0,5 − 1·9,81 = 63,45 N

Atsakymas

T_top = 63,45 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 6,654 m/s

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Energijos balansas nuokalne

Kūnas nusileidžia d·sin θ aukščiu, o trintis atima μmg·cos θ·d. Masė susiprastina.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·5·(0,6428 − 0,25·0,766)) = 6,654 m/s

Atsakymas

v = 6,654 m/s

10.Darbas ir energija

Atsakymas: x = 36,93 cm

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 19,62·(4 − 0,15·3,5) = 68,18 J

Didžiausias suspaudimas

½kx² = 68,18 → x = √(2·68,18/1000) = 0,3693 m = 36,93 cm

Atsakymas

x = 36,93 cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 196,5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Atsilenkimas po smūgio

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,07) = 1,172 m/s

Susidūrimas

m·v = (m + M)·V → v = (0,015 + 2,5)·1,172/0,015 = 196,5 m/s

Atsakymas

v = 196,5 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′ = 8,228 m/s

Judesio kiekio dedamosios

p_x = 1100·8 = 8800 kg·m/s

p_y = 1500·13 = 19500 kg·m/s

Nuolaužų greitis

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 21394/2600 = 8,228 m/s

Atsakymas

v′ = 8,228 m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: x = 1,981 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(160/0,4) = 20 rad/s

ω·t = 20·0,9 = 18 rad

Poslinkis

x = A·cos(ω·t) = 3·cos(18) = 1,981 cm

Atsakymas

x = 1,981 cm

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: a_max = 21,43 m/s²

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(150/1,4) = 10,35 rad/s

Didžiausias pagreitis

a_max = A·ω² = 0,2·10,35² = 21,43 m/s²

Atsakymas

a_max = 21,43 m/s²

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: m = 0,1935

Geometrinė optika: ties riba n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelio dėsnis), kampai matuojami nuo normalės, o n = c/v. Patekęs į lėtesnę terpę spindulys lūžta normalės link. Iš tankesnės terpės (n₁ > n₂) už ribinio kampo θ_c = arcsin(n₂/n₁) visa šviesa atsispindi: visiškasis vidaus atspindys. Plonieji lęšiai ir sferiniai veidrodžiai paklūsta lygčiai 1/f = 1/d_o + 1/d_i su didinimu m = −d_i/d_o. Ženklų susitarimas: f > 0 glaudžiamajam lęšiui ir įgaubtam veidrodžiui (f = R/2), f < 0 sklaidomajam lęšiui ir iškiliam veidrodžiui; d_i > 0 tikrajam vaizdui, d_i < 0 menamajam, o m < 0 apverstam vaizdui.

Plonojo lęšio lygtis

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−12) − 1/50

d_i = −9,677 cm

Didinimas

m = −d_i/d_o = −(−9,677)/50 = 0,1935

Atsakymas

m = 0,1935

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: w = 44,17 mm

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Pirmasis tamsus ruožas

y₁ = λL/a = 589 × 10⁻⁹·3/(0,08 × 10⁻³) = 22,09 mm

Centrinio maksimumo plotis

w = 2y₁ = 44,17 mm

Atsakymas

w = 44,17 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics